麦克纳姆轮机器人运动学分析：位姿变换与轮子转角计算

{"title":"麦克纳姆轮机器人运动学分析：位姿变换与轮子转角计算","description":"本文分析了麦克纳姆轮机器人运动学，推导了机体坐标系与里程计坐标系之间的变换关系，并计算了四个麦克纳姆轮在特定运动过程中的累计转角。","keywords":"麦克纳姆轮, 机器人运动学, 位姿变换, 轮子转角, 齐次变换矩阵","content":"机体坐标系和里程计坐标系的变换关系可以用齐次变换矩阵表示。假设机体坐标系下的位姿状态为[x, y, \u03b8]，其中x和y为机体坐标系下的位移，\u03b8为机体坐标系相对于里程计坐标系的旋转角度。则齐次变换矩阵为：\n\nT = [[cos(\u03b8), -sin(\u03b8), x],\n [sin(\u03b8), cos(\u03b8), y],\n [0, 0, 1]]\n\n其中cos(\u03b8)和sin(\u03b8)分别表示\u03b8的余弦和正弦值。\n\n根据题目描述，机体坐标系在初始状态下位于里程计坐标系的原点，所以初始的齐次变换矩阵为：\n\nT0 = [[1, 0, 0],\n [0, 1, 0],\n [0, 0, 1]]\n\n首先，机器人底盘以2m/s的速度向前移动1s，即x方向位移为2m。根据齐次变换矩阵的定义，更新齐次变换矩阵为：\n\nT1 = [[1, 0, 2],\n [0, 1, 0],\n [0, 0, 1]]\n\n然后，机器人底盘以\u03c0/6 rad/s的角速度逆时针旋转2s，即旋转角度为\u03c0/6 * 2 = \u03c0/3 rad。根据齐次变换矩阵的定义，更新齐次变换矩阵为：\n\nT2 = [[cos(\u03c0/3), -sin(\u03c0/3), 0],\n [sin(\u03c0/3), cos(\u03c0/3), 0],\n [0, 0, 1]]\n\n最后，机器人底盘以1m/s的速度向右平移3s，即y方向位移为-3m。根据齐次变换矩阵的定义，更新齐次变换矩阵为：\n\nT3 = [[cos(\u03c0/3), -sin(\u03c0/3), 0],\n [sin(\u03c0/3), cos(\u03c0/3), -3],\n [0, 0, 1]]\n\n最终，机体坐标系相对于里程计坐标系的变换关系为：\n\nT = T3 * T2 * T1 * T0\n\n下面计算四个麦克纳姆轮累计起来分别转了多少度。根据麦克纳姆轮的运动学模型，机器人底盘的运动可以分解为四个麦克纳姆轮的运动。每个麦克纳姆轮的转角可以通过每个麦克纳姆轮的运动速度和运动时间计算得到。\n\n首先，机器人底盘向前移动1s，每个麦克纳姆轮的速度为2m/s。根据麦克纳姆轮的运动学模型，每个麦克纳姆轮的转角为：\n\n\u03b81 = v1 * t1 / r\n\n其中v1为麦克纳姆轮的速度，t1为运动时间，r为麦克纳姆轮的半径。\n\n代入数值计算，得到：\n\n\u03b81 = 2 * 1 / 0.075 = 26.6667 rad\n\n然后，机器人底盘以\u03c0/6 rad/s的角速度逆时针旋转2s。根据麦克纳姆轮的运动学模型，每个麦克纳姆轮的转角为：\n\n\u03b82 = \u03c92 * t2\n\n其中\u03c92为麦克纳姆轮的角速度，t2为运动时间。\n\n代入数值计算，得到：\n\n\u03b82 = \u03c0/6 * 2 = \u03c0/3 rad\n\n最后，机器人底盘向右平移3s，每个麦克纳姆轮的速度为1m/s。根据麦克纳姆轮的运动学模型，每个麦克纳姆轮的转角为：\n\n\u03b83 = v3 * t3 / r\n\n其中v3为麦克纳姆轮的速度，t3为运动时间，r为麦克纳姆轮的半径。\n\n代入数值计算，得到：\n\n\u03b83 = 1 * 3 / 0.075 = 40 rad\n\n综上所述，四个麦克纳姆轮累计起来分别转了26.6667 rad、\u03c0/3 rad和40 rad。"}