无限大平板非稳态热传导数值模拟与解析解对比

首先，我们需要建立该问题的数学模型。设平板的长度为L，宽度为W。我们将平板分成N个小格子，每个格子的长度为Δx = L/N，宽度为Δy = W/N。设第i行第j列的格子的温度为T(i,j)，其中i = 1,2,...,N，j = 1,2,...,N。\n\n根据热传导定律，可以得到每个格子的温度变化率与其周围格子的温度之差成正比。具体地，对于内部的格子，有：\ndT(i,j)/dt = α * [(T(i+1,j) + T(i-1,j) - 2T(i,j))/Δx^2 + (T(i,j+1) + T(i,j-1) - 2T(i,j))/Δy^2]\n\n其中，α是热扩散系数，与材料的热导率、密度和比热容有关。\n\n对于边界格子，根据边界条件可以得到如下关系：\ndT(i,j)/dt = α * [(T(i+1,j) + T(i-1,j) - 2T(i,j))/Δx^2 + (T(i,j+1) + T(i,j-1) - 2T(i,j))/Δy^2] + 2 * α * h * (T∞ - T(i,j))/δ\n\n其中，T∞是流体的温度，δ是平板的厚度。\n\n根据上述方程，我们可以建立非稳态过程的数值模拟模型。具体步骤如下：\n\n1. 初始化：将每个格子的温度初始化为初始温度t0。\n\n2. 进行时间步长循环，每个时间步长Δt：\n\na. 对于内部的格子，根据热传导定律的方程，更新其温度：\n T(i,j) = T(i,j) + α * Δt * [(T(i+1,j) + T(i-1,j) - 2T(i,j))/Δx^2 + (T(i,j+1) + T(i,j-1) - 2T(i,j))/Δy^2]\n\nb. 对于边界格子，根据边界条件的方程，更新其温度：\n T(i,j) = T(i,j) + α * Δt * [(T(i+1,j) + T(i-1,j) - 2T(i,j))/Δx^2 + (T(i,j+1) + T(i,j-1) - 2T(i,j))/Δy^2] + 2 * α * h * Δt * (T∞ - T(i,j))/δ\n\n3. 重复步骤2，直到达到所需的时间。\n\n在计算过程中，我们可以将数值模拟得到的温度分布与该问题的解析解进行比较验证。解析解可以通过偏微分方程的分离变量法、变换法或格林函数法等方法求得。将数值模拟得到的温度分布与解析解进行比较，可以验证数值模拟的准确性和可靠性。