欧拉函数性质证明：a 为质数 p 倍数时 φ(a × p) = φ(a) × p

根据欧拉函数的定义，对于任意正整数 n，有\n\nφ(n) = n × \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) × \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) × \ldots × \left(1 - \frac{1}{p_k}\right)\n\n其中 p_1, p_2, \ldots, p_k 是 n 的所有不同的质因数。因此，我们需要证明对于任意质数 p，有\n\nφ(a × p) = φ(a) × p\n\n首先，我们知道 a 是 p 的倍数，即存在正整数 k，使得 a = k × p。因此，a × p = k × p^2。\n\n接下来，我们来计算 φ(a × p)：\n\nφ(a × p) = (a × p) × \left(1 - \frac{1}{p}\right) = (k × p^2) × \left(1 - \frac{1}{p}\right)\n\n然后，我们来计算 φ(a) × p：\n\nφ(a) × p = (a) × \left(1 - \frac{1}{p}\right) × p = (k × p) × \left(1 - \frac{1}{p}\right) × p = (k × p) × \left(1 - \frac{1}{p}\right) × p\n\n由于 a = k × p，所以 φ(a × p) = φ(a) × p。\n\n综上所述，对于任意质数 p，若 a 是 p 的倍数，则有 φ(a × p) = φ(a) × p。