欧拉函数性质证明：φ(a × p) = φ(a) × p

首先给出欧拉函数的定义：对于任意正整数 n，欧拉函数 φ(n) 表示小于等于 n 且与 n 互质的正整数的个数。

要证明的是：φ(a × p) = φ(a) × p，其中 a 和 p 均为正整数，且 p 为质数。

证明：

由于 p 为质数，所以 p 与任意不被 p 整除的正整数互质。

对于任意正整数 x，如果 x 与 a 互质，则 x 与 a × p 也互质。

反之，如果 x 与 a × p 互质，则 x 与 a 也互质。因为如果 x 与 a 不互质，即存在一个正整数 d，使得 d 是 x 和 a 的公约数，那么 d 也是 x 和 a × p 的公约数，因此 x 和 a × p 不互质。

综上所述，a × p 与 a 互质的正整数个数等于 a × p 与 a × p 互质的正整数个数。

根据欧拉函数的定义，φ(a × p) 表示小于等于 a × p 且与 a × p 互质的正整数的个数。

同样地，φ(a) 表示小于等于 a 且与 a 互质的正整数的个数。

由于 p 为质数，所以小于等于 a × p 且与 a × p 互质的正整数可以分为两类：一类是小于等于 a 且与 a 互质的正整数，另一类是大于 a 且与 a × p 互质的正整数。

小于等于 a 且与 a 互质的正整数的个数为 φ(a)。

大于 a 且与 a × p 互质的正整数的个数为 φ(p)。

由于 p 为质数，所以与 p 互质的正整数个数为 p-1。

因此，小于等于 a × p 且与 a × p 互质的正整数的个数为 φ(a) + φ(p) = φ(a) + (p-1) = φ(a) × p。

即证得：φ(a × p) = φ(a) × p。