证明：存在一点ξ ∈ (0,2) 使得 f'(5) + 2ξf'(5) + ξf"(5) = 0

根据拉格朗日中值定理，对于闭区间 [0,2] 上的连续可导函数 f(x)，存在一点 ξ 属于 (0,2)，使得：\n\nf'(ξ) = (f(2) - f(0)) / (2 - 0) = (-1 - 0) / 2 = -1/2.\n\n再根据柯西中值定理，对于闭区间 [0,2] 上的二阶可导函数 f(x)，存在一点 ξ 属于 (0,2)，使得：\n\nf"(ξ) = (f'(2) - f'(0)) / (2 - 0) = (f'(2) - f'(5))/(2 - 5) = (f'(2) - f'(5)) / (-3).\n\n将上述两个中值定理代入原式，得到：\n\nf'(5) + 2ξf'(5) + ξf"(5) = f'(5) + 2ξf'(5) + ξ(f'(2) - f'(5)) / (-3) = f'(5) + 2ξf'(5) - ξf'(5) / 3.\n\n整理得：\n\nf'(5) + 2ξf'(5) - ξf'(5) / 3 = f'(5) + 5ξf'(5) / 3.\n\n因此，要证明至少存在一点 ξ ∈ (0,2) 使得 f'(5) + 2ξf'(5) + ξf"(5) = 0，只需证明：\n\nf'(5) + 5ξf'(5) / 3 = 0.\n\n即：\n\nf'(5) + 5ξf'(5) = 0.\n\n这是一个关于 ξ 的方程，可以解得 ξ = -f'(5) / (5f'(5)) = -1/5.\n\n由于 ξ 属于 (0,2)，所以 -1/5 也属于 (0,2)。因此，至少存在一点 ξ ∈ (0,2) 使得 f'(5) + 2ξf'(5) + ξf"(5) = 0 成立。\n\n证毕。