解析函数恒等于常数的证明

设$f(z)$是一个解析函数，且在某个区域$D$内恒等于常数$c$。我们需要证明$f(z)$在$D$内恒等于$c$。\n\n首先，由于$f(z)$是解析函数，根据解析函数的定义，它在$D$内处处可导。那么我们可以考虑$f'(z)$在$D$内的性质。\n\n对于$D$内的任意点$z_0$，根据导数的定义，我们有：\n$$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$$ \n\n由于$f(z)$在$D$内恒等于$c$，那么上式可以写成：\n$$f'(z_0) = \lim_{z \to z_0}\frac{c-c}{z-z_0} = 0$$\n\n也就是说，$f'(z)$在$D$内处处为零。\n\n根据导数的性质，如果一个函数在某个区域内导数处处为零，那么它在该区域内必为常数函数。因此，$f(z)$在$D$内恒等于常数$c$。\n\n综上所述，解析函数$f(z)$如果在某个区域内恒等于常数$c$，那么$f(z)$必为常数函数。