求x的n次方相对误差 - 当x相对误差为2时

要求x的相对误差为2，即(\frac{\Delta x}{x}=2)，其中(\Delta x)为x的绝对误差。\n\n现在要求(x^n)的相对误差，即(\frac{\Delta (x^n)}{x^n})。\n\n由于(x^n)可以表示为((x)^n)，我们可以利用导数的链式法则来计算相对误差。\n\n首先，对((x)^n)求导：\n(\frac{d}{dx}(x)^n = nx^{n-1})\n\n然后，对相对误差(\frac{\Delta (x^n)}{x^n})求导：\n(\frac{d}{dx}\left(\frac{\Delta (x^n)}{x^n}\right)=\frac{1}{x^n}\frac{d}{dx}\Delta(x^n)-\frac{\Delta(x^n)}{(x^n)^2}\frac{d}{dx}(x^n))\n\n代入(\frac{d}{dx}(x)^n = nx^{n-1})：\n(\frac{d}{dx}\left(\frac{\Delta (x^n)}{x^n}\right)=\frac{1}{x^n}\frac{d}{dx}\Delta(x^n)-\frac{\Delta(x^n)}{(x^n)^2}\cdot nx^{n-1})\n\n再代入(\frac{\Delta x}{x}=2)：\n(\frac{d}{dx}\left(\frac{\Delta (x^n)}{x^n}\right)=\frac{1}{x^n}\frac{d}{dx}\Delta(x^n)-\frac{\Delta(x^n)}{(x^n)^2}\cdot 2x^{n-1})\n\n化简得到：\n(\frac{d}{dx}\left(\frac{\Delta (x^n)}{x^n}\right)=\frac{1}{x^n}\frac{d}{dx}\Delta(x^n)-\frac{2\Delta(x^n)}{x^n})\n\n由于(\frac{d}{dx}\Delta(x^n)=0)，即(\Delta(x^n))是常数，所以：\n(\frac{d}{dx}\left(\frac{\Delta (x^n)}{x^n}\right)=-\frac{2\Delta(x^n)}{x^n})\n\n最终得到(x^n)的相对误差为-2。