证明等价关系的复合运算仍为等价关系

若a和β是集合X上的等价关系，即满足以下三个条件：\n1. 自反性：对于任意的x∈X，有x a x和x β x；\n2. 对称性：对于任意的x,y∈X，如果x a y，则y a x，如果x β y，则y β x；\n3. 传递性：对于任意的x,y,z∈X，如果x a y且y a z，则x a z，如果x β y且y β z，则x β z。\n\n我们来证明a°β是X上的等价关系。\n\n首先来证明自反性：对于任意的x∈X，由于a和β都是X上的等价关系，所以有x a x和x β x，即x a°β x，因此a°β是自反的。\n\n接下来证明对称性：对于任意的x,y∈X，如果x a°β y，则存在z∈X，使得x a z且z β y。由于a和β都是等价关系，所以有y β z且z a x，即y a°β x，因此a°β是对称的。\n\n最后证明传递性：对于任意的x,y,z∈X，如果x a°β y且y a°β z，则存在u,v∈X，使得x a u且u β y，以及y a v且v β z。由于a和β都是等价关系，所以有u β v且v a u，即x a u β v a z，即x a°β z，因此a°β是传递的。\n\n综上所述，若a和β是集合X上的等价关系，则a°β也是X上的等价关系。