集合上的等价关系证明：B={<x, y> | ∃z(z∈X∧<x,z>∈a∧<z,y>∈a)} 是等价关系

要证明B是等价关系，需要验证B满足等价关系的三个性质：自反性、对称性和传递性。\n\n1. 自反性：对于任意的x∈X，需要证明<x, x>∈B。\n根据B的定义，存在一个z∈X，使得<x, z>∈a且<z, x>∈a。由于a是等价关系，所以<a, a>∈a。因此，可以取z=a，得到<a, x>∈a且<x, a>∈a。根据B的定义，<a, x>∈B且<x, a>∈B，所以<a, a>∈B。因此，B满足自反性。\n\n2. 对称性：对于任意的x, y∈X，如果<x, y>∈B，则<y, x>∈B。\n假设<x, y>∈B，根据B的定义，存在一个z∈X，使得<x, z>∈a且<z, y>∈a。由于a是等价关系，所以<z, x>∈a且<y, z>∈a。根据B的定义，<z, x>∈B且<y, z>∈B，所以<y, x>∈B。因此，B满足对称性。\n\n3. 传递性：对于任意的x, y, z∈X，如果<x, y>∈B且<y, z>∈B，则<x, z>∈B。\n假设<x, y>∈B且<y, z>∈B，根据B的定义，存在一个u∈X，使得<x, u>∈a且<u, y>∈a，还存在一个v∈X，使得<y, v>∈a且<v, z>∈a。由于a是等价关系，所以<x, v>∈a且<u, z>∈a。根据B的定义，<x, v>∈B且<u, z>∈B，所以<x, z>∈B。因此，B满足传递性。\n\n综上所述，B满足自反性、对称性和传递性，因此B是等价关系。