圆锥面与柱面交线及有限部分质量计算

(1) 首先，我们先求出圆锥面和柱面的交线C。

将圆锥面和柱面的方程联立，得到：

√(x^2+y^2) = √(2x)

两边平方，得到：

x^2 + y^2 = 2x

这是一个圆的方程，圆心在x轴上，半径为1。

所以C在xOy平面上的投影曲线的方程为：

x^2 + y^2 = 1

(2) 求S的质量M，可以看作将S划分成无数个小面元，每个小面元的质量为dm = u(x,y,z) * dS，其中dS为小面元的面积。

根据题意，u(x,y,z) = 9√(x^2+y^2+z^2) ，所以dm = 9√(x^2+y^2+z^2) * dS。

要求出S的质量M，只需要对整个S上的所有小面元的质量进行积分即可。

M = ∬S dm = ∬S 9√(x^2+y^2+z^2) * dS

由于S是被柱面割下的有限部分，所以需要找到S的边界。

由(1)可知，C在xOy平面上的投影曲线的方程为 x^2 + y^2 = 1。

所以S的边界是C和柱面z^2=2x的交线部分。

将柱面的方程改写为x = z^2/2，代入C的方程，得到：

z^4/4 + y^2 = 1

这是一个椭圆的方程。

所以S的边界为椭圆 z^4/4 + y^2 = 1。

要对M进行积分，可以使用极坐标系。

在极坐标系下，S的边界方程变为：

r^4/4 + r^2sin^2θ = 1

将S的边界方程转化为极坐标下的积分区域：

0 ≤ θ ≤ 2π

0 ≤ r ≤ 2cosθ

所以M = ∫∫S 9√(x^2+y^2+z^2) dS = ∫0^2π∫0^2cosθ 9√(r^4/4 + r^2sin^2θ) r dr dθ