圆锥面与柱面交线及薄片质量计算

(1) 首先，我们可以将圆锥面和柱面的方程化简为： 圆锥面：x^2 + y^2 = z^2 柱面：x = z^2/2

将圆锥面的方程代入柱面的方程中，得到： x = (x^2 + y^2)/2 2x = x^2 + y^2 x^2 - 2x + y^2 = 0

这是一个圆的方程，将它写成标准形式，得到： (x - 1)^2 + y^2 = 1

所以，C在xOy平面上的投影曲线的方程为： (x - 1)^2 + y^2 = 1

(2) 薄片型物体S的质量可以通过对密度函数在S上的积分来计算。首先，我们需要确定S的范围。

由题意可知，圆锥面和柱面的交线C是C在xOy平面上的投影曲线。由于C是一个圆，我们可以将它的参数方程表示为： x = 1 + cosθ y = sinθ z = √(x^2 + y^2) = √((1 + cosθ)^2 + sin^2θ) = √(2 + 2cosθ)

其中，θ的取值范围是[0, 2π]。

现在，我们可以计算密度函数在S上的积分： 质量 = ∫∫∫_S u(x, y, z) dV

根据题目给出的密度函数，可得： 质量 = ∫∫∫_S 9√(x^2 + y^2 + z^2) dV

由于S是圆锥面和柱面割下的有限部分，我们可以使用极坐标系进行积分。在极坐标系下，dV可以表示为： dV = r dz dr dθ

将x, y, z用极坐标表示，可得： x = rcosθ y = rsinθ z = √(r^2 + z^2)

将上述结果代入到质量的积分式中，得到： 质量 = ∫_θ=0^2π ∫_r=0^√(2+2cosθ) ∫_z=0^√(r^2+z^2) 9√(r^2+z^2) r dz dr dθ

通过适当的积分变换，可以将上述积分化为极坐标下的标准形式： 质量 = ∫_θ=0^2π ∫_r=0^√(2+2cosθ) 9r^2√(r^2+z^2)|_0^√(r^2+z^2) dr dθ

化简上述积分，可得最终的质量计算公式： 质量 = ∫_θ=0^2π ∫_r=0^√(2+2cosθ) 9r^2(r^2+z^2) dr dθ

通过计算上述积分，即可求得S的质量。