初等矩阵与初等行变换：详解及应用

初等行变换是通过矩阵的乘法，对矩阵的行进行操作，达到改变行的顺序、缩放行、交换行等目的。初等行变换分为三种类型：

1. 交换两行：将矩阵的两行进行交换。
2. 用非零常数乘以某一行：将矩阵的某一行乘以一个非零常数。
3. 将某一行的倍数加到另一行上：将矩阵的某一行的倍数加到另一行上。

初等行变换可以通过左乘一个初等矩阵来实现。初等矩阵是一个单位矩阵，经过一次初等行变换得到的矩阵。初等矩阵的形式如下：

1. 交换两行：单位矩阵的两行进行交换，可以得到一个初等矩阵。例如，将第i行和第j行进行交换，得到的初等矩阵为E(i,j)，其中i和j为矩阵的行号。

2. 用非零常数乘以某一行：单位矩阵的某一行乘以非零常数，可以得到一个初等矩阵。例如，将第i行乘以非零常数k，得到的初等矩阵为E(i,k)，其中i为矩阵的行号，k为非零常数。

3. 将某一行的倍数加到另一行上：单位矩阵的某一行的倍数加到另一行上，可以得到一个初等矩阵。例如，将第i行的k倍加到第j行上，得到的初等矩阵为E(i,j,k)，其中i和j为矩阵的行号，k为倍数。

对于一个矩阵A，如果要对其进行初等行变换，可以通过左乘一个对应的初等矩阵E来实现。即 A' = EA，其中A'为经过初等行变换后得到的矩阵。

需要注意的是，初等矩阵具有可逆性，即存在逆矩阵E^-1，使得EE^-1 = E^-1E = I，其中I为单位矩阵。因此，可以通过左乘初等矩阵的逆矩阵来进行逆向的初等行变换，以恢复原始矩阵。