棋盘覆盖问题：分治法解题技巧及C语言代码实现

问题介绍 在一个 2^k * 2^k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为以特殊棋盘（见图（a））。在棋盘覆盖问题中，要用如下图示的 4 种不同形态的 L 型骨牌(见图(b), 图(b)，图(c), 图(d))覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格之外的所有方格，且任何 2 个 L 型骨牌不得重叠覆盖。

分治法技巧 当 k>0 时，将 2^k * 2^k 棋盘分割为 4 个 2^(k-1) * 2^(k - 1)子棋盘，如下图(f)所示。特殊方格必位于 4 个较小子棋盘之一种，其余 3 个子棋盘中无特殊方格。为了将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小棋盘的会合处，如下图(g)所示。从而将原问题转化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘 1*1

C语言代码实现

#include <stdio.h>

#define MAX_SIZE 1024

int board[MAX_SIZE][MAX_SIZE];
int tile = 1;

void chessboard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size) {
    if (size == 1) {
        return;
    }

    int t = tile++;
    int s = size / 2;

    // 特殊方格在左上角子棋盘
    if (dr < tr + s && dc < tc + s) {
        chessboard(tr, tc, dr, dc, s);
    } else {
        // 不在左上角子棋盘，用L型骨牌覆盖
        board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;
        chessboard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);
    }

    // 特殊方格在右上角子棋盘
    if (dr < tr + s && dc >= tc + s) {
        chessboard(tr, tc + s, dr, dc, s);
    } else {
        board[tr + s - 1][tc + s] = t;
        chessboard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
    }

    // 特殊方格在左下角子棋盘
    if (dr >= tr + s && dc < tc + s) {
        chessboard(tr + s, tc, dr, dc, s);
    } else {
        board[tr + s][tc + s - 1] = t;
        chessboard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);
    }

    // 特殊方格在右下角子棋盘
    if (dr >= tr + s && dc >= tc + s) {
        chessboard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
    } else {
        board[tr + s][tc + s] = t;
        chessboard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);
    }
}

int main() {
    int k, specialRow, specialCol;
    printf("请输入k值（棋盘大小为2^k * 2^k）：");
    scanf("%d", &k);
    printf("请输入特殊方格的行坐标和列坐标（以空格分隔）：");
    scanf("%d %d", &specialRow, &specialCol);

    int boardSize = 1 << k;  // 2^k
    chessboard(0, 0, specialRow, specialCol, boardSize);

    printf("骨牌覆盖结果：\n");
    for (int i = 0; i < boardSize; i++) {
        for (int j = 0; j < boardSize; j++) {
            printf("%3d ", board[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

在这个代码中，我们首先定义了一个 MAX_SIZE 常量，用于限制棋盘的最大大小。然后定义了一个二维数组 board 来表示棋盘，以及一个全局变量 tile 来表示骨牌的编号。

chessboard 函数是核心的递归函数，用于实现棋盘的分割和覆盖。它接受四个参数：tr 和 tc 表示当前棋盘的左上角坐标，dr 和 dc 表示特殊方格的坐标，size 表示当前棋盘的大小。

在函数中，首先判断当前棋盘的大小是否为1，如果是，则直接返回。否则，根据特殊方格的位置，将棋盘分割为四个子棋盘，并递归调用 chessboard 函数处理子棋盘。

在主函数中，我们首先读取输入的 k 值和特殊方格的坐标，然后根据 k 值计算棋盘的大小，并调用 chessboard 函数生成骨牌覆盖结果。最后，将结果打印出来。

注意：由于棋盘大小可能很大，为了简化代码，我们假设棋盘的大小不超过 MAX_SIZE，如果需要处理更大的棋盘，需要将 MAX_SIZE 的值调大。