分治法求解棋盘覆盖问题：原理及 C 语言实现

问题介绍

在一个 2^k * 2^k 个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其它方格不同，称该方格为一个特殊方格，且称该棋盘为以特殊方格（见图（a））。在棋盘覆盖问题中，要用如下图示的 4 种不同形态的 L 型骨牌（见图（b），图（b），图（c），图（d））覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格之外的所有方格，且任何 2 个 L 型骨牌不得重叠覆盖。

分治法的应用

当 k>0 时，将 2^k * 2^k 棋盘分割为 4 个 2^(k-1) * 2^(k - 1)子棋盘，如下图(f)所示。特殊方格必位于 4 个较小子棋盘之一种，其余 3 个子棋盘中无特殊方格。为了将这 3 个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个 L 型骨牌覆盖这 3 个较小棋盘的会合处，如下图(g)所示。从而将原问题转化为 4 个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘 1*1

C 语言代码实现

以下是使用 C 语言实现棋盘覆盖问题的递归代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

// 定义棋盘大小
#define BOARD_SIZE 8

// 定义棋盘
int board[BOARD_SIZE][BOARD_SIZE];

// 定义L型骨牌的编号
int tile = 0;

// 定义特殊方格的位置
int special_row = 0;
int special_col = 0;

// 棋盘覆盖函数
void chessboard(int tr, int tc, int dr, int dc, int size)
{
    // 如果棋盘大小为1，则直接返回
    if (size == 1)
        return;
    
    int t = tile++;
    int s = size / 2;
    
    // 检查特殊方格所在的象限
    if (dr < tr + s && dc < tc + s)
    {
        // 特殊方格在左上象限
        chessboard(tr, tc, dr, dc, s);
    }
    else
    {
        // 特殊方格不在左上象限，用t号骨牌覆盖右下象限的左上角
        board[tr + s - 1][tc + s - 1] = t;
        chessboard(tr, tc, tr + s - 1, tc + s - 1, s);
    }
    
    if (dr < tr + s && dc >= tc + s)
    {
        // 特殊方格在右上象限
        chessboard(tr, tc + s, dr, dc, s);
    }
    else
    {
        // 特殊方格不在右上象限，用t号骨牌覆盖左下象限的右上角
        board[tr + s - 1][tc + s] = t;
        chessboard(tr, tc + s, tr + s - 1, tc + s, s);
    }
    
    if (dr >= tr + s && dc < tc + s)
    {
        // 特殊方格在左下象限
        chessboard(tr + s, tc, dr, dc, s);
    }
    else
    {
        // 特殊方格不在左下象限，用t号骨牌覆盖右上象限的左下角
        board[tr + s][tc + s - 1] = t;
        chessboard(tr + s, tc, tr + s, tc + s - 1, s);
    }
    
    if (dr >= tr + s && dc >= tc + s)
    {
        // 特殊方格在右下象限
        chessboard(tr + s, tc + s, dr, dc, s);
    }
    else
    {
        // 特殊方格不在右下象限，用t号骨牌覆盖左上象限的右下角
        board[tr + s][tc + s] = t;
        chessboard(tr + s, tc + s, tr + s, tc + s, s);
    }
}

// 打印棋盘函数
void printBoard()
{
    for (int i = 0; i < BOARD_SIZE; i++)
    {
        for (int j = 0; j < BOARD_SIZE; j++)
        {
            printf("%2d ", board[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

int main()
{
    // 初始化棋盘
    for (int i = 0; i < BOARD_SIZE; i++)
    {
        for (int j = 0; j < BOARD_SIZE; j++)
        {
            board[i][j] = 0;
        }
    }
    
    // 设置特殊方格的位置
    special_row = 0;
    special_col = 0;
    
    // 棋盘覆盖
    chessboard(0, 0, special_row, special_col, BOARD_SIZE);
    
    // 打印棋盘
    printBoard();
    
    return 0;
}

代码说明

此代码使用了递归的思想，通过分割棋盘并递归调用自身来解决棋盘覆盖问题。在chessboard函数中，首先检查特殊方格所在的象限，然后根据特殊方格所在的象限递归调用chessboard函数，直至棋盘大小为1。在递归调用过程中，使用t来表示L型骨牌的编号，s来表示子棋盘的大小。最后通过调用printBoard函数打印出棋盘的覆盖情况。

总结

分治法是一种将问题分解为更小的子问题，然后递归地解决子问题，最后将子问题的解合并起来解决原问题的算法。它是一种非常强大的算法，可以用来解决很多问题，例如排序问题、查找问题、棋盘覆盖问题等。

注意：

棋盘的大小必须是2的幂次方，即 2^k。
特殊方格的位置可以通过修改special_row和special_col来改变。
该代码只演示了棋盘覆盖问题的基本实现，您可以根据自己的需求进行修改和扩展。