纸箱尺寸优化：如何最小化纸板用量？

为了计算纸箱在容积一定时，纸板用量最少时的长宽高比例，我们可以使用数学方法进行求解。

首先，我们需要确定纸箱的容积。假设纸箱的容积为V，则有V = lwh，其中l、w和h分别表示纸箱的长度、宽度和高度。

接下来，我们需要确定纸板的用量。纸板的用量可以通过计算纸箱的表面积来得到。纸箱的表面积可以分为六个面：四个侧面、一个顶面和一个底面。假设纸箱的侧面面积为A1，顶面面积为A2，底面面积为A3，则纸板的用量为A1 + A2 + A3。其中，A1 = 2lh + 2wh，A2 = lw，A3 = lw。

由于容积V是一定的，我们可以将纸箱的长度l表示为l = V / (wh)。将此式代入纸板的用量公式中，得到纸板的用量为A = 2V / h + 2w + (2V / (hw))。

为了求解纸板用量最少时的长宽高比例，我们需要对纸板的用量A进行求导。对A关于w求导，得到 dA/dw = -2V / (h^2w^2) + 2 / h。令dA/dw等于0，可以解得 w = (V / h)^(1/3)。

将w = (V / h)^(1/3)代入纸箱的长度l的表达式中，得到 l = (V / h)^(2/3)。将l和w代入纸箱的高度h的表达式中，得到 h = (V / w)^(1/3)。

综上所述，纸箱在容积一定时，纸板用量最少时的长宽高比例为 l:w:h = (V / h)^(2/3) : (V / h)^(1/3) : (V / w)^(1/3)。