0203 型纸箱尺寸比例优化：最小化纸板用量

要计算纸板用量最少时的长宽高比例，我们需要先确定容积一定的情况下纸箱的尺寸。

假设纸箱的容积为 V（立方厘米），纸箱的长、宽、高分别为 L、W、H（厘米），则有以下关系： V = L * W * H

我们需要最小化纸板的用量，即最小化纸板的总面积。纸板的总面积可以通过计算纸箱的侧面积、底面积和顶面积求和得到。在容积一定的情况下，我们可以根据纸箱的长、宽、高的关系，将纸板的总面积表示为纸箱的长、宽、高的函数。

假设纸箱的长宽高比例为 x:y:z，则有以下关系： L = x * V^(1/3) W = y * V^(1/3) H = z * V^(1/3)

纸板的总面积 S 可以表示为： S = 2(LW + LH + WH)

将 L、W、H 代入上式，得到： S = 2[(x * y + x * z + y * z) * V^(2/3)]

我们需要最小化纸板的总面积 S，即最小化 [(x * y + x * z + y * z) * V^(2/3)]。

由于 V 是一个常数（容积一定），我们只需要最小化 [(x * y + x * z + y * z)]。

最小化 [(x * y + x * z + y * z)] 的问题可以转化为求解一个二元函数的最小值。根据极值点的一阶条件，我们可以对 x 求偏导数，令其等于 0，得到： y + z = 0

同理，对 y 和 z 求偏导数，我们也可以得到： x + z = 0 x + y = 0

由上述方程组可知，x、y、z 的值必须相等，即纸箱的长宽高比例为 1:1:1。在容积一定时，纸箱的长宽高比例为 1:1:1 时，纸板用量最少。