∛x 导函数求解：详细步骤和公式推导

根据定义，导函数表示函数在某一点处的斜率，可以通过求极限来计算。对于函数 f(x) = ∛x，我们可以计算其导函数如下：

f'(x) = lim (h→0) [(f(x+h) - f(x)) / h]

代入 f(x) = ∛x，

f'(x) = lim (h→0) [((∛(x+h)) - (∛x)) / h]

我们可以利用求极限的方法来计算这个导函数。下面我们将进行详细的计算过程。

首先，我们将分子进行展开：

∛(x+h) - ∛x = (x+h)^(1/3) - x^(1/3)

然后，我们使用等比公式将其化简：

∛(x+h) - ∛x = [(x+h) - x] / [((x+h)^(2/3) + (∛(x+h))x^(1/3) + x^(2/3)]

将上述结果代入导函数的定义：

f'(x) = lim (h→0) [((x+h) - x) / [((x+h)^(2/3) + (∛(x+h))x^(1/3) + x^(2/3))h]]

化简后得：

f'(x) = lim (h→0) [1 / [((x+h)^(2/3) + (∛(x+h))x^(1/3) + x^(2/3)) / h]]

继续化简：

f'(x) = lim (h→0) [1 / [((x+h)^(2/3) + (∛(x+h))x^(1/3) + x^(2/3)) / h]]

由于分母中有一个 h，我们可以将其移到分子中：

f'(x) = lim (h→0) [h / ((x+h)^(2/3) + (∛(x+h))x^(1/3) + x^(2/3))]

然后，我们可以将极限中的 h 除掉：

f'(x) = 1 / ((x^(2/3) + (∛x)x^(1/3) + x^(2/3))

最后，我们可以将 x^(2/3) + (∛x)x^(1/3) + x^(2/3) 相加并化简：

f'(x) = 1 / (2x^(2/3) + x^(1/3))

因此，根据定义，∛x 的导函数为 1 / (2x^(2/3) + x^(1/3))。