n阶矩阵A与(A-E)的秩之和证明：r(A) + r(A-E) <= n

首先，我们可以得到以下等式：

A'(A-E) = O

我们知道，矩阵的秩有以下性质：

r(AB) <= min(r(A), r(B))

因此，我们有：

r(A'(A-E)) <= min(r(A), r(A-E))

因为A'(A-E) = O，所以r(A'(A-E)) = r(O) = 0

所以我们有：

0 <= min(r(A), r(A-E))

因为A不等于E，所以r(A)不等于n，即r(A) < n

因此，我们可以得到：

0 <= min(r(A), r(A-E)) < n

又因为r(A-E) <= n，所以我们可以得到：

r(A) + r(A-E) <= n

综上所述，我们证明了r(A) + r(A-E) <= n