证明矩阵秩不等式：r(A) + r(A-E) <= n

已知A为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，O为n阶零矩阵，且A不等于E，A乘以(A-E)为O。证明r(A) + r(A-E) <= n。

根据已知条件，有A(A-E) = O。我们可以利用矩阵的秩的性质来证明。

首先，我们知道秩的性质：r(AB) <= min(r(A), r(B))。

假设r(A) = k，r(A-E) = m。那么根据秩的性质，有r(A(A-E)) <= min(k, m)。

由已知条件A(A-E) = O，所以r(A(A-E)) = r(O) = 0。 因此，有0 <= min(k, m)。

又因为k和m都是大于等于0的整数，所以有min(k, m) >= 0。

综上所述，有0 <= min(k, m) <= n。

根据秩的定义，r(A)表示A的列空间的维数，r(A-E)表示(A-E)的列空间的维数。

由于A和E不相等，所以A的列空间和E的列空间不完全重叠，即它们的交集维数为0。

因此，有r(A) + r(A-E) <= n。

综上所述，得证r(A) + r(A-E) <= n。