证明：当 lim_{n→+∞}β_n=0 时，函数 f 在 [-1,2] 上有界，在 [0,1] 上 Riemann 可积，则 lim_{n /to /infty} /u00a0/u00a0/u00a0/u00a0/u00a0/u00a0/u00a0/u00a01/n Σ_{k=1}^{n} f(k/n + β_n) = ∫_{0}^{1}f(x)dx

首先，我们可以将求和式中的每一项展开为//$f(//frac{k}{n}+//beta_n)$，然后再将其化简为//$f(//frac{k}{n})+f'(//frac{k}{n})//beta_n+O(//beta_n^2)$，其中//$O(//beta_n^2)$表示当//$n//to //infty$时，//$//beta_n^2$趋近于0的高阶无穷小。这是因为根据题目中的条件//$//lim_{n //to //infty}//beta_n=0$，所以//$//beta_n$趋近于0，而//$f$在//$[-1,2]$上有界，所以//$f$在//$//frac{k}{n}$附近的一阶导数也是有界的。//n//n然后我们可以将求和式改写为：//n//$//frac{1}{n} //sum_{k=1}^{n} f(//frac{k}{n}+//beta_n) = //frac{1}{n} //sum_{k=1}^{n} f(//frac{k}{n}) + //frac{1}{n} //sum_{k=1}^{n} f'(//frac{k}{n})//beta_n + //frac{1}{n} //sum_{k=1}^{n} O(//beta_n^2)$//n//n对于第一项//$//frac{1}{n} //sum_{k=1}^{n} f(//frac{k}{n})$，我们可以将其看作是对//$f(x)$在//$[0,1]$上的一个Riemann和的近似。由于//$f$在//$[0,1]$上是Riemann可积的，所以对任意的//$//epsilon > 0$，存在一个//$//delta > 0$，使得当任意的分割//$P$满足//$//|P/|</delta$时，对应的Riemann和//$//sigma(f,P)$满足//$|/sigma(f,P) - //int_{0}^{1}f(x)dx|</epsilon$，其中//$//|P/|$表示分割//$P$的长度。//n//n对于第二项//$//frac{1}{n} //sum_{k=1}^{n} f'(//frac{k}{n})//beta_n$，我们可以将其看作是对//$f'(x)$在//$[0,1]$上的一个Riemann和的近似。由于//$f$在//$[0,1]$上是Riemann可积的，所以对任意的//$//epsilon > 0$，存在一个//$//delta > 0$，使得当任意的分割//$P$满足//$//|P/|</delta$时，对应的Riemann和//$//sigma(f',P)$满足//$|/sigma(f',P) - //int_{0}^{1}f'(x)dx|</epsilon$。//n//n对于第三项//$//frac{1}{n} //sum_{k=1}^{n} O(//beta_n^2)$，根据无穷小的性质，我们知道当//$n//to //infty$时，//$//frac{1}{n} //sum_{k=1}^{n} O(//beta_n^2)$趋近于0。//n//n综上所述，当//$n//to //infty$时，//$//frac{1}{n} //sum_{k=1}^{n} f(//frac{k}{n}+//beta_n)$趋近于//$//int_{0}^{1}f(x)dx$。