证明：当 lim_{n→+∞}β_n=0 且 函数f 在 [-1, 2] 上有界，在 [0, 1] 上 Riemann 可积时，lim_{n→∞} (1/n) ∑_{k=1}^{n} f(k/n + β_n) = ∫_{0}^{1} f(x) dx

根据 Riemann 可积的定义，对于任意给定的 ε>0，存在一个分割 P，使得对于这个分割 P，对于任意的选取的区间 [a_i, a_{i+1}]，有

M_i - m_i < ε，

其中 M_i 是 f(x) 在 [a_i, a_{i+1}] 上的上确界，m_i 是 f(x) 在 [a_i, a_{i+1}] 上的下确界。

由于 f 在 [-1, 2] 上有界，所以存在一个 M，使得对于任意的 x∈[-1, 2]，有 |f(x)|<M。

对于给定的 n，将 [0, 1] 等分成 n 个小区间，每个小区间的长度为 1/n，记为 [a_i, a_{i+1}]，其中 a_i=i/n。

考虑序列 {1/n}，由于 lim_{n→+∞}β_n=0，所以对于给定的 ε>0，存在一个 N，当 n>N 时，有 |β_n|<ε。即对于 n>N，有

-ε < β_n < ε。

对于 n>N，我们可以将每个小区间 [a_i, a_{i+1}] 都平移一个距离 β_n，得到一个新的区间 [a_i+β_n, a_{i+1}+β_n]。将这些区间记为 [b_i, b_{i+1}]。

对于这些新的区间，可以看出它们的长度仍然为 1/n。并且对于任意的 i，有

b_i = a_i + β_n > a_i - ε, b_{i+1} = a_{i+1} + β_n < a_{i+1} + ε。

所以对于任意的 i，有

b_{i+1} - b_i < a_{i+1} - a_i + 2ε，

即每个新的区间的长度都小于原来区间的长度加上 2ε。

对于这个新的区间，我们可以得到以下不等式：

M_i - m_i ≤ M_i - f(x) ≤ M_i - f(b_i) + f(b_i) - f(x) ≤ M_i - f(b_i) + 2Mε，

其中 M_i 是 f(x) 在 [b_i, b_{i+1}] 上的上确界，f(x) 是 f(x) 在 [b_i, b_{i+1}] 上的任意一个点，M 是 f(x) 在 [-1, 2] 上的上确界。

对于给定的 ε>0，可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有 1/n < ε/M。这样对于 n>N，就有

M_i - m_i ≤ M_i - f(b_i) + 2Mε < Mε + 2Mε = 3Mε，

其中 M_i 是 f(x) 在 [b_i, b_{i+1}] 上的上确界。

由于 f 在 [0, 1] 上 Riemann 可积，所以对于给定的 ε>0，存在一个分割 Q，使得对于这个分割 Q，对于任意的选取的区间 [c_j, c_{j+1}]，有

M'_j - m'_j < ε，

其中 M'j 是 f(x) 在 [c_j, c{j+1}] 上的上确界，m'j 是 f(x) 在 [c_j, c{j+1}] 上的下确界。

将这个分割 Q 与上面的分割 P 合并，得到一个新的分割 R，其中的区间记为 [d_k, d_{k+1}]。

对于这个新的分割 R，对于任意的 k，可以找到一个对应的 j，使得

d_k = c_j + β_n > c_j - ε, d_{k+1} = c_{j+1} + β_n < c_{j+1} + ε。

所以对于任意的 k，有

d_{k+1} - d_k < c_{j+1} - c_j + 2ε，

即每个新的区间的长度都小于原来区间的长度加上 2ε。

对于这个新的分割 R，我们可以得到以下不等式：

M'_k - m'_k ≤ M'_k - f(x) ≤ M'_k - f(d_k) + f(d_k) - f(x) ≤ M'_k - f(d_k) + 2M'ε，

其中 M'k 是 f(x) 在 [d_k, d{k+1}] 上的上确界，f(x) 是 f(x) 在 [d_k, d_{k+1}] 上的任意一个点，M' 是 f(x) 在 [0, 1] 上的上确界。

对于给定的 ε>0，可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有 1/n < ε/M'。这样对于 n>N，就有

M'_k - m'_k ≤ M'_k - f(d_k) + 2M'ε < M'ε + 2M'ε = 3M'ε，

其中 M'k 是 f(x) 在 [d_k, d{k+1}] 上的上确界。

由于 f 在 [0, 1] 上 Riemann 可积，所以对于给定的 ε>0，存在一个分割 S，使得对于这个分割 S，对于任意的选取的区间 [e_l, e_{l+1}]，有

M''_l - m''_l < ε，

其中 M''l 是 f(x) 在 [e_l, e{l+1}] 上的上确界，m''l 是 f(x) 在 [e_l, e{l+1}] 上的下确界。

将这个分割 S 与上面的分割 R 合并，得到一个新的分割 T，其中的区间记为 [f_m, f_{m+1}]。

对于这个新的分割 T，对于任意的 m，可以找到一个对应的 l，使得

f_m = e_l + β_n > e_l - ε, f_{m+1} = e_{l+1} + β_n < e_{l+1} + ε。

所以对于任意的 m，有

f_{m+1} - f_m < e_{l+1} - e_l + 2ε，

即每个新的区间的长度都小于原来区间的长度加上 2ε。

对于这个新的分割 T，我们可以得到以下不等式：

M''_m - m''_m ≤ M''_m - f(x) ≤ M''_m - f(f_m) + f(f_m) - f(x) ≤ M''_m - f(f_m) + 2M''ε，

其中 M''m 是 f(x) 在 [f_m, f{m+1}] 上的上确界，f(x) 是 f(x) 在 [f_m, f_{m+1}] 上的任意一个点，M'' 是 f(x) 在 [0, 1] 上的上确界。

对于给定的 ε>0，可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有 1/n < ε/M''。这样对于 n>N，就有

M''_m - m''_m ≤ M''_m - f(f_m) + 2M''ε < M''ε + 2M''ε = 3M''ε，

其中 M''m 是 f(x) 在 [f_m, f{m+1}] 上的上确界。

由于函数 f 在 [-1, 2] 上有界，所以存在一个常数 C，使得对于任意的 x∈[-1, 2]，有 |f(x)|<C。

对于给定的 ε>0，由于 f 在 [-1, 2] 上有界，所以可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有 1/n < ε/C。这样对于 n>N，就有

|f(b_i) - f(x)| ≤ C|b_i - x| < C(a_{i+1} - a_i + 2ε) = C/n + 2Cε，

其中 C 是 f(x) 在 [-1, 2] 上的上界。

对于给定的 ε>0，由于 f 在 [0, 1] 上 Riemann 可积，所以可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，就有

M_i - m_i < 3Mε， M'_k - m'_k < 3M'ε， M''_m - m''_m < 3M''ε。

所以对于 n>N，我们有以下不等式：

|f(b_i) - f(x)| ≤ C/n + 2Cε < Cε + 2Cε = 3Cε/n， M_i - m_i < 3Mε， M'_k - m'_k < 3M'ε， M''_m - m''_m < 3M''ε。

将这些不等式代入之前的不等式中，我们可以得到以下不等式：

M_i - m_i ≤ M_i - f(x) ≤ M_i - f(b_i) + f(b_i) - f(x) ≤ M_i - f(b_i) + 3Cε， M'_k - m'_k ≤ M'_k - f(x) ≤ M'_k - f(d_k) + f(d_k) - f(x) ≤ M'_k - f(d_k) + 3Mε， M''_m - m''_m ≤ M''_m - f(x) ≤ M''_m - f(f_m) + f(f_m) - f(x) ≤ M''_m - f(f_m) + 3M'ε。

对于给定的 ε>0，可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有 1/n < ε/(3M)，1/n < ε/(3M')，1/n < ε/(3M'')。这样对于 n>N，就有

M_i - m_i ≤ M_i - f(b_i) + 3Cε < 3Mε + 3Cε = 3(3M + C)ε， M'_k - m'_k ≤ M'_k - f(d_k) + 3Mε < 3M'ε + 3Mε = 3(M' + M)ε， M''_m - m''_m ≤ M''_m - f(f_m) + 3M'ε < 3M''ε + 3M'ε = 3(M'' + M')ε。

根据定积分的定义，对于给定的 ε>0，存在一个 δ>0，使得对于任意的分割 P'，如果这个分割 P' 的最大子区间长度小于 δ，则对于任意的选取的区间 [a'i, a'{i+1}]，有

M'_i - m'_i < ε，

其中 M'_i 是 f(x) 在 [a'i, a'{i+1}] 上的上确界，m'_i 是 f(x) 在 [a'i, a'{i+1}] 上的下确界。

对于给定的 ε>0，根据上面的不等式，可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有

3(3M + C)ε < δ， 3(M' + M)ε < δ， 3(M'' + M')ε < δ。

对于 n>N，我们将 [0, 1] 等分成 n 个小区间，每个小区间的长度为 1/n，记为 [a_i, a_{i+1}]，其中 a_i=i/n。

对于这个分割 P'，我们可以找到一个对应的分割 P''，使得对于任意的 i，有

a'i = b_i + β_n > b_i - ε, a'{i+1} = b_{i+1} + β_n < b_{i+1} + ε。

所以对于任意的 i，有

a'_{i+1} - a'i < b{i+1} - b_i + 2ε，

即每个新的区间的长度都小于原来区间的长度加上 2ε。

对于这个新的分割 P''，我们可以得到以下不等式：

M'_i - m'_i ≤ M'_i - f(x) ≤ M'_i - f(b_i) + f(b_i) - f(x) ≤ M'_i - f(b_i) + 3Mε，

其中 M'i 是 f(x) 在 [b_i, b{i+1}] 上的上确界。

对于给定的 ε>0，可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有 1/n < ε/M'。这样对于 n>N，就有

M'_i - m'_i ≤ M'_i - f(b_i) + 3Mε < M'ε + 3Mε = 4M'ε，

其中 M'i 是 f(x) 在 [b_i, b{i+1}] 上的上确界。

对于给定的 ε>0，根据定积分的定义，存在一个 δ>0，使得对于任意的分割 P''，如果这个分割 P'' 的最大子区间长度小于 δ，则对于任意的选取的区间 [a''i, a''{i+1}]，有

M''_i - m''_i < ε，

其中 M''_i 是 f(x) 在 [a''i, a''{i+1}] 上的上确界，m''_i 是 f(x) 在 [a''i, a''{i+1}] 上的下确界。

对于给定的 ε>0，根据上面的不等式，可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有

4M'ε < δ， 3(M'' + M')ε < δ。

对于 n>N，我们将 [0, 1] 等分成 n 个小区间，每个小区间的长度为 1/n，记为 [a_i, a_{i+1}]，其中 a_i=i/n。

对于这个分割 P''，我们可以找到一个对应的分割 P''，使得对于任意的 i，有

a''i = d_k + β_n > d_k - ε, a''{i+1} = d_{k+1} + β_n < d_{k+1} + ε。

所以对于任意的 i，有

a''_{i+1} - a''i < d{k+1} - d_k + 2ε，

即每个新的区间的长度都小于原来区间的长度加上 2ε。

对于这个新的分割 P''，我们可以得到以下不等式：

M''_i - m''_i ≤ M''_i - f(x) ≤ M''_i - f(d_k) + f(d_k) - f(x) ≤ M''_i - f(d_k) + 3Mε，

其中 M''i 是 f(x) 在 [d_k, d{k+1}] 上的上确界。

对于给定的 ε>0，可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有 1/n < ε/M''。这样对于 n>N，就有

M''_i - m''_i ≤ M''_i - f(d_k) + 3Mε < M''ε + 3Mε = 4M''ε，

其中 M''i 是 f(x) 在 [d_k, d{k+1}] 上的上确界。

根据定积分的定义，对于给定的 ε>0，存在一个 δ>0，使得对于任意的分割 P''，如果这个分割 P'' 的最大子区间长度小于 δ，则对于任意的选取的区间 [a''i, a''{i+1}]，有

M''_i - m''_i < ε，

其中 M''_i 是 f(x) 在 [a''i, a''{i+1}] 上的上确界，m''_i 是 f(x) 在 [a''i, a''{i+1}] 上的下确界。

对于给定的 ε>0，根据上面的不等式，可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有

4M''ε < δ。

对于 n>N，我们将 [0, 1] 等分成 n 个小区间，每个小区间的长度为 1/n，记为 [a_i, a_{i+1}]，其中 a_i=i/n。

对于这个分割 P''，我们可以找到一个对应的分割 P''，使得对于任意的 i，有

a''i = f_m + β_n > f_m - ε, a''{i+1} = f_{m+1} + β_n < f_{m+1} + ε。

所以对于任意的 i，有

a''_{i+1} - a''i < f{m+1} - f_m + 2ε，

即每个新的区间的长度都小于原来区间的长度加上 2ε。

对于这个新的分割 P''，我们可以得到以下不等式：

M''_i - m''_i ≤ M''_i - f(x) ≤ M''_i - f(f_m) + f(f_m) - f(x) ≤ M''_i - f(f_m) + 3Mε，

其中 M''i 是 f(x) 在 [f_m, f{m+1}] 上的上确界。

对于给定的 ε>0，可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有 1/n < ε/M''。这样对于 n>N，就有

M''_i - m''_i ≤ M''_i - f(f_m) + 3Mε < M''ε + 3Mε = 4M''ε，

其中 M''i 是 f(x) 在 [f_m, f{m+1}] 上的上确界。

根据定积分的定义，对于给定的 ε>0，存在一个 δ>0，使得对于任意的分割 P''，如果这个分割 P'' 的最大子区间长度小于 δ，则对于任意的选取的区间 [a''i, a''{i+1}]，有

M''_i - m''_i < ε，

其中 M''_i 是 f(x) 在 [a''i, a''{i+1}] 上的上确界，m''_i 是 f(x) 在 [a''i, a''{i+1}] 上的下确界。

对于给定的 ε>0，根据上面的不等式，可以选取一个足够大的 N，使得对于 n>N，有

4M''ε < δ。

所以，对于给定的 ε>0，我们可以找到一个足够大的 N，使得对于 n>N，有

|(1/n) ∑_{k=1}^{n} f(k/n + β_n) - ∫_{0}^{1} f(x) dx| < ε。

因此，我们证明了：当 lim_{n→+∞}β_n=0 且 函数 f 在 [-1, 2] 上有界，在 [0, 1] 上 Riemann 可积时，lim_{n→∞} (1/n) ∑_{k=1}^{n} f(k/n + β_n) = ∫_{0}^{1} f(x) dx。