长方体中直线到平面的距离计算 - 详解与案例

\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e在长方体ABCD-A1B1C1D1中：棱长AB=8,BC=5,AA1=6,求：（1）直线A1B1到平面ABCD的距离; （2）直线B1C1到平面A1BCD1的距离。\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e（1）设直线A1B1与平面ABCD的距离为h。\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e由于直线A1B1与平面ABCD垂直，所以直线A1B1的法向量与平面ABCD的法向量平行。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e设平面ABCD的法向量为n，则直线A1B1的法向量为n。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e设平面ABCD的一个点为P，则直线A1B1上的一点为Q，连接PQ。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e由于直线A1B1与平面ABCD垂直，所以直线A1B1上的任意一点到平面ABCD的距离都相等。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e设直线A1B1上的任意一点为Q，则 PQ ⊥ 平面ABCD。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e又因为AA1 ⊥ PQ，所以AA1 ⊥ 平面ABCD。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，AA1 是平面ABCD的法向量。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e设平面ABCD的法向量为n，则 AA1 = n = AB × BC = (0, 0, 1) × (8, 0, 0) = (0, 0, 0 - 0, 8 - 0, 0 - 0) = (0, 8, 0)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线A1B1的法向量为n = (0, 8, 0)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e设直线A1B1上的一点为Q，则 Q = (x, y, z)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e由于 Q 在平面ABCD上，所以 Q 满足平面ABCD的方程，即 (x, y, z)·n = (x, y, z)·(0, 8, 0) = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e即 0·x + 8·y + 0·z = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，8y = 0，即 y = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线A1B1上的点为 Q = (x, 0, z)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e由于直线A1B1与平面ABCD垂直，所以直线A1B1上的点 Q 到平面ABCD的距离就等于 Q 到平面ABCD的高度。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线A1B1到平面ABCD的距离为 h = z。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，平面ABCD的方程为 8y = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e将平面ABCD的方程带入直线A1B1的方程，得到 (x, 0, z)·(0, 8, 0) = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e即 0·x + 8·0 + 0·z = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e得到 x = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线A1B1上的点为 Q = (0, 0, z)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e将 Q 的坐标带入直线A1B1的方程，得到 (0, 0, z)·(0, 8, 0) = 6。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e即 0·0 + 0·8 + 0·z = 6。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e得到 z = 6。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线A1B1到平面ABCD的距离为 h = z = 6。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线A1B1到平面ABCD的距离为 6。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e\u003cstrong\u003e（2）设直线B1C1与平面A1BCD1的距离为h1。\u003c/strong\u003e\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e由于直线B1C1与平面A1BCD1垂直，所以直线B1C1的法向量与平面A1BCD1的法向量平行。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e设平面A1BCD1的法向量为n1，则直线B1C1的法向量为n1。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e设平面A1BCD1的一个点为P1，则直线B1C1上的一点为Q1，连接P1Q1。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e由于直线B1C1与平面A1BCD1垂直，所以直线B1C1上的任意一点到平面A1BCD1的距离都相等。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e设直线B1C1上的任意一点为Q1，则 PQ1 ⊥ 平面A1BCD1。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e又因为B1C1 ⊥ PQ1，所以B1C1 ⊥ 平面A1BCD1。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，B1C1 是平面A1BCD1的法向量。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e设平面A1BCD1的法向量为n1，则 B1C1 = n1 = BC × AA1 = (5, 0, 0) × (0, 8, 0) = (0, 0, 0 - 0, 0 - 0, 5 - 0) = (0, 0, 5)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线B1C1的法向量为n1 = (0, 0, 5)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e设直线B1C1上的一点为Q1，则 Q1 = (x1, y1, z1)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e由于 Q1 在平面A1BCD1上，所以 Q1 满足平面A1BCD1的方程，即 (x1, y1, z1)·n1 = (x1, y1, z1)·(0, 0, 5) = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e即 0·x1 + 0·y1 + 5·z1 = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，5z1 = 0，即 z1 = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线B1C1上的点为 Q1 = (x1, y1, 0)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e由于直线B1C1与平面A1BCD1垂直，所以直线B1C1上的点 Q1 到平面A1BCD1的距离就等于 Q1 到平面A1BCD1的高度。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线B1C1到平面A1BCD1的距离为 h1 = y1。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，平面A1BCD1的方程为 0·x + 0·y + 5·0 = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e得到 y = 0。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线B1C1上的点为 Q1 = (x1, 0, 0)。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e将 Q1 的坐标带入直线B1C1的方程，得到 (x1, 0, 0)·(0, 0, 5) = 6。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e即 0·x1 + 0·0 + 0·5 = 6。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e得到 0 = 6，矛盾。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线B1C1与平面A1BCD1不存在交点，也就是直线B1C1与平面A1BCD1平行。\u003c/p\u003e\n\u003cp\u003e所以，直线B1C1到平面A1BCD1的距离为无穷大，即不存在距离。\u003c/p\u003e