2020年新冠疫情与M国拯救地球国家紧急债券：未来教育基金会投资策略分析

"2020年，新冠肺炎全球蔓延，严重影响了世界福祉。为刺激经济发展，M国计划发行各类代号为"拯救地球"的国家紧急债券（SEB）。债券到期年限有2、3、4、5、9、12、15、18、20、25年等十种，债券每年初发行，发行时间为2021-2049年。债券每年末兑现，兑现有效截止时间为2050年。债券服务范围涵盖医药健康、交通运输、科技研发、装备制造、国民福利五大领域。债券到期后，允许债券购买者所在的地方政府收取税率不等的税收。债券类型、到期年限、收益率、税收比率等见表1。\n\n未来教育基金会（以下称FFE）计划在2050年前（含2050年）向M国部分高等院校捐助一笔经费以帮助贫困学生。为了增加捐助金额，FFE将现有的8000万美元资金进行债券投资。为谨慎起见，FFE委托风险机构对各类债券进行了风险等级评估。同时，FFE还制定了投资要求：①医药健康债券购买金额不得少于债券购买总金额的20%，其余每个行业的债券购买总金额不得少于债券购买总金额的10%；②所购债券的平均风险等级不得低于2.5，等级数字越大，风险越低；③要求所购买的债券的平均到期年限不超过10年；④要求捐助活动结束后FFE继续保留8000万美元资金。\n\n请你建立数学模型，解决下列问题：\n1.若SEB债券投资只允许在第一年初进行，那这些投资将分别在第2、3、4、5、9、12、15、18、20、25年收回本金和收益。请问，8000万美元资金如何分配，使得15个产品的总收益达到最大？\n2. 假定可以进行重复投资，即当债券到期后，只要在2050年前（包含2050年）能够回收本金和收益就可以进行再次投资。请你帮助FFE拟定一个2021-2049年的投资债券详细方案，使得2050年末的一次性捐款金额达到最大。\n\n\n债券领域\t风险等级\t地方政府税率（%）\t到期年限\t到期税前总收益（%）\n医药健康\t5\t0\t2\t4.45\n\t\t\t9\t39.89\n\t\t\t20\t232.11\n交通运输\t2\t20\t3\t8.0\n\t\t\t12\t58.27\n\t\t\t25\t300.54\n科技研发\t4\t0\t4\t12.55\n\t\t\t15\t180.09\n\t\t\t20\t232.11\n装备制造\t3\t10\t4\t12.55\n\t\t\t9\t39.89\n\t\t\t18\t206.12\n国民福利\t1\t30\t2\t4.45\n\t\t\t5\t18.77\n\t\t\t18\t206.12\n\n建立数学模型解决问题，并给出求解代码内容：问题1可以建立一个线性规划模型来求解。\n\n设x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10分别表示购买医药健康债券到期年限为2、3、4、5、9、12、15、18、20、25年的金额。\n\n目标函数：max Z = 0.0445x1 + 0.3989x5 + 0.23211*(x8+x10) + 0.08x2 + 0.5827x6 + 0.30054x10 + 0.1255x3 + 0.18009x7 + 0.20612(x9+x10) + 0.0445x4 + 0.1877x5 + 0.20612*(x9+x10)\n\n约束条件：\nx1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 <= 8000万\nx1 + x4 >= 0.2*(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10)\nx2 + x6 >= 0.1*(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10)\nx3 + x7 >= 0.1*(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10)\nx5 + x9 >= 0.1*(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10)\nx8 + x10 >= 0.1*(x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10)\nx1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 <= 8000万\n\n其中x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7、x8、x9、x10 >= 0\n\n求解该线性规划模型，即可得到8000万美元资金的最优分配方案。\n\n问题2可以建立一个动态规划模型来求解。\n\n设f(n)表示在第n年时能够获得的最大一次性捐款金额。\n\n则f(n) = max(f(n-2)+收益(n-2), f(n-3)+收益(n-3), f(n-4)+收益(n-4), f(n-5)+收益(n-5), f(n-9)+收益(n-9), f(n-12)+收益(n-12), f(n-15)+收益(n-15), f(n-18)+收益(n-18), f(n-20)+收益(n-20), f(n-25)+收益(n-25))\n\n其中，收益(n)表示第n年购买债券的收益金额。\n\n初始条件：f(0) = 0\n\n最终目标：求解f(2050)的最大值。\n\n利用动态规划的方法，从第0年开始递推计算f(n)，直到f(2050)为止，即可得到最优的投资债券方案。\n\n