循环群的无限性证明：充分性与必要性

要证明循环群<a>是无限循环群等价于其上任意两个元素互不相同，可以分别证明充分性和必要性。\n\n充分性证明：\n假设循环群<a>是无限循环群，即存在a^n \neq a^m，其中n \neq m。假设存在a^n = a^m，则可得到a^(n-m)=e，其中e为群<a>的单位元。这与循环群的定义相矛盾，因为如果存在n \neq m使得a^n=a^m，则群<a>的阶数不是无限的。因此，循环群<a>是无限循环群。\n\n必要性证明：\n假设循环群<a>上任意两个元素互不相同，即对于任意n \neq m，有a^n \neq a^m。要证明<a>是无限循环群，可以反证法。假设<a>是有限循环群，则存在正整数k使得a^k=e，其中e为群<a>的单位元。考虑a^(k+1)，由于a^k=e，可得a^(k+1)=a^ka=a^ke=a^k。根据循环群的性质，若存在a^k=a^(k+1)，则存在正整数l使得a^l=e，这与<a>是无限循环群的假设矛盾。因此，假设不成立，即<a>是无限循环群。\n\n综上所述，循环群<a>是无限循环群等价于其上任意两个元素互不相同。