当x趋近于无穷大时，((x^2)/((x-a)(x+b)))^x的极限

为了计算当 ( x ) 趋近于无穷大时，( \left(\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right)^x ) 的极限，我们可以按照以下步骤进行：

1. 展开分母:

( \frac{x^2}{(x-a)(x+b)} = \frac{x^2}{x^2 + (b-a)x - ab} )

2. 观察最高次项:

当 ( x ) 趋近于无穷大时，分子和分母的最高次项 (( x^2 )) 对极限的计算起主导作用。

3. 简化表达式:

由于最高次项的系数在分子和分母中都是 1，我们可以将其约去，得到：

( \frac{x^2}{(x-a)(x+b)} \approx \frac{1}{1 + \frac{b-a}{x} - \frac{ab}{x^2}} )

4. 趋近于无穷大:

当 ( x ) 趋近于无穷大时，分式中的 ( \frac{b-a}{x} ) 和 ( \frac{ab}{x^2} ) 的值都趋于零，因此我们可以忽略这两项，得到：

( \frac{x^2}{(x-a)(x+b)} \approx \frac{1}{1} = 1 )

5. 计算极限:

因此，当 ( x ) 趋近于无穷大时，( \left(\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right)^x ) 的极限是 ( 1^\infty ) ，这个极限是 1。

总结:

需要注意的是，上述解题过程基于对分子和分母最高次项的观察和简化。在实际计算极限时，可能需要根据具体情况进行更复杂的代数操作和数学推导。