群G的子群判定条件：闭合性

$\$ \ "群(\groupG), 非空有限子集(H\subseteq G), (H\le G)的充分必要条件为: (\forall a,\ b\in H,\ a\circ b\in H).\$\ "这个命题如何证明内容：要证明这个命题，我们需要证明两个方向的充分必要条件。\$\ 充分条件：假设(\forall a,\ b\in H,\ a\circ b\in H)，我们需要证明(H)是(\groupG)的子群。\$\ 首先，由于(H)是非空有限子集，且(H\subseteq G)，所以必定存在一个元素(e\in H)，使得对于任意(h\in H)，有(e\circ h = h\circ e = h)。这说明(H)中存在单位元素。\$\ 其次，对于任意(h\in H)，由于(H)中的元素满足闭合性，即对于任意(a,\ b\in H)，有(a\circ b\in H)，所以有(h\circ h^{-1}\in H)。这说明(H)中的每个元素都有逆元素。\$\ 最后，对于任意(a,\ b\in H)，由于(H)中的元素满足闭合性，即(a\circ b\in H)，所以有((a\circ b)\circ b^{-1}\in H)。这说明(H)中的元素满足结合律。\$\ 综上所述，(H)是(\groupG)的子群。\$\ 必要条件：假设(H)是(\groupG)的子群，我们需要证明(\forall a,\ b\in H,\ a\circ b\in H)。\$\ 由于(H)是(\groupG)的子群，所以对于任意(a,\ b\in H)，有(a^{-1}\in H)。因此，我们可以将(a\circ b)表示为(a\circ b = a\circ (b^{-1})^{-1} = (a\circ b^{-1})^{-1})。\$\ 由于(a,\ b\in H)，所以(a\circ b^{-1}\in H)。又因为(H)是(\groupG)的子群，所以((a\circ b^{-1})^{-1}\in H)。即(a\circ b = (a\circ b^{-1})^{-1}\in H)。\$\ 综上所述，(\forall a,\ b\in H,\ a\circ b\in H)。\$\ 综上所述，充分必要条件得证。\