积分中值定理：定义、应用及证明 - 微积分重要定理

积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是微积分基本定理的一个推论。积分中值定理指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，那么在这个区间上一定存在一点c，使得函数在这个点的积分等于函数在整个区间上的积分除以区间长度。

具体来说，设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在[a, b]上可积。则存在某个点c∈[a, b]，使得： ∫[a,b] f(x)dx = f(c)(b-a)

其中∫[a,b] f(x)dx表示函数f(x)在闭区间[a, b]上的积分。

积分中值定理可以用来证明微积分中的一些重要结论，比如平均值定理、泰勒展开式等。

需要注意的是，积分中值定理要求函数在闭区间上连续，而不仅仅是可导。这是与微分中值定理的一个重要区别。另外，积分中值定理只是指出存在某个点满足等式，而不能确定具体的点。因此，它只是一种存在性的结论，而不是一种唯一性的结论。