阻尼弹簧质量系统强迫振动：频率比为 1 时速度幅值最大

首先，根据阻尼弹簧质量系统的运动方程可以得到： $$\ddot{x} + 2\eta\omega_{0}\dot{x} + \omega_{0}^2x = F_{0}\cos(\omega t)$$ 其中，$\ddot{x}$是弹簧质量系统的加速度，$\dot{x}$是速度，$x$是位移，$\eta$是阻尼系数，$\omega_{0}$是自然频率，$F_{0}$是激振力的振幅，$\omega$是激振力的角频率。

为了证明频率比等于1时，速度幅值最大，我们可以利用复数形式来分析。假设位移和激振力可以表示为复数形式： $$x = Xe^{i\omega t}$$ $$F = Fe^{i\omega t}$$ 其中，$X$是位移的复振幅，$F$是激振力的复振幅。

将上述复数形式代入运动方程中，可以得到： $$(-\omega^2 + 2i\eta\omega\omega_{0} - \omega_{0}^2)Xe^{i\omega t} = Fe^{i\omega t}$$ 将上述方程整理得到： $$(-\omega^2 + 2i\eta\omega\omega_{0} - \omega_{0}^2)X = F$$ 将复振幅表示为振幅和相位的形式： $$X = |X|e^{i\phi}$$ 将上述方程代入，可以得到： $$(-\omega^2 + 2i\eta\omega\omega_{0} - \omega_{0}^2)|X|e^{i\phi} = F$$ 将上述方程的实部和虚部分别取出，可以得到： $$-\omega^2|X| - \omega_{0}^2|X|\cos\phi = F$$ $$2\eta\omega\omega_{0}|X| - \omega_{0}^2|X|\sin\phi = 0$$ 由于阻尼系数$\eta$大于零，可以得到$\sin\phi=0$，即$\phi=0$或$\phi=\pi$。

当$\phi=0$时，可以得到： $$-\omega^2|X| - \omega_{0}^2|X|\cos\phi = F$$ $$-\omega^2|X| - \omega_{0}^2|X| = F$$ $$-\omega^2 - \omega_{0}^2 = \frac{F}{|X|}$$ 即： $$\omega^2 + \omega_{0}^2 = -\frac{F}{|X|}$$ 由于$\omega$和$\omega_{0}$都是正数，所以$-\frac{F}{|X|}$必须是负数，即$F$和$|X|$有相反的符号。这说明当激振力的频率等于系统的自然频率时，位移和激振力的振幅有相反的符号，即速度幅值最大。

当$\phi=\pi$时，可以得到： $$-\omega^2|X| - \omega_{0}^2|X|\cos\phi = F$$ $$-\omega^2|X| + \omega_{0}^2|X| = F$$ $$\omega^2 - \omega_{0}^2 = \frac{F}{|X|}$$ 由于$\omega$和$\omega_{0}$都是正数，所以$\frac{F}{|X|}$必须是正数，即$F$和$|X|$有相同的符号。这说明当激振力的频率等于系统的自然频率时，位移和激振力的振幅有相同的符号，即速度幅值最小。

综上所述，当频率比等于1时，速度幅值最大。