阻尼弹簧质量系统强迫振动：频率比为1时速度幅值最大

设阻尼的弹簧质量系统的微分方程为：$$m\frac{d^2x}{dt^2}+kx+c\frac{dx}{dt}=F_0\cos(\omega t)$$其中，$m$为质量，$k$为弹簧的劲度系数，$c$为阻尼系数，$F_0$为激振力的振幅，$\omega$为激振力的角频率。$$为了求解该微分方程，我们可以设解为$x=A\cos(\omega t+\phi)$，其中$A$为振幅，$\phi$为相位差。将其代入微分方程中，得到：$$-m\omega^2A\cos(\omega t+\phi)+c\omega A\sin(\omega t+\phi)=-F_0\cos(\omega t)$$比较等式两边的幅值部分，得到：$$m\omega^2A=F_0$$即$$A=\frac{F_0}{m\omega^2}$$速度则是位移对时间的导数：$$v=-A\omega\sin(\omega t+\phi)$$速度的幅值为：$$|v|=|A\omega\sin(\omega t+\phi)|=|A\omega|\cdot|\sin(\omega t+\phi)|$$由三角函数的性质可知，$|\sin(\omega t+\phi)|$的最大值为1，因此速度的幅值最大为：$$|v_{\text{max}}|=|A\omega|$$现在我们来比较当频率比等于1时，速度幅值的大小。$$设$\omega_1$为频率比等于1的角频率，即$\omega_1=\omega$。$$设$\omega_2$为频率比不等于1的角频率，即$\omega_2\neq\omega$。$$假设$|\omega_1|>|\omega_2|$，即频率比等于1的角频率的绝对值大于频率比不等于1的角频率的绝对值。$$根据之前的推导，速度幅值为：$$|v_{1,\text{max}}|=|A\omega_1|=|\frac{F_0}{m\omega_1^2}|=\frac{F_0}{m\omega_1^2}$$|v_{2,\text{max}}|=|A\omega_2|=|\frac{F_0}{m\omega_2^2}|=\frac{F_0}{m\omega_2^2}$$由于$|\omega_1|>|\omega_2|$，所以$\omega_1^2>\omega_2^2$，即$\frac{1}{\omega_1^2}<\frac{1}{\omega_2^2}$。$$由此可知，$|v_{1,\text{max}}|>|v_{2,\text{max}}|$，即当频率比等于1时，速度幅值最大。$$综上所述，当阻尼的弹簧质量系统在简谐激振力作用下作强迫振动时，频率比等于1时速度幅值最大。