π 是无理数的证明 - 详细解释

假设 π 是有理数，即可以表示为两个整数的比值，即 π = a/b，其中 a 和 b 为整数，且 a 和 b 互质。

可以将 π 表示为一个无限连分数的形式，即 π = [3; 7, 15, 1, 292, ...]。其中，[3; 7, 15, 1, 292, ...] 表示 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + ...))))。

假设 π 是有理数，那么上述连分数可以有一个有限的表示形式，即 π = [a0; a1, a2, ..., an]，其中 an 为最后一个项。

通过推导可以得到： π = [a0; a1, a2, ..., an-1, an] = [a0; a1, a2, ..., an-1 + 1/an] = [a0; a1, a2, ..., an-1 + 1/(a_n+1/...)] = [a0; a1, a2, ..., an-1 + 1/(a_n+1/...+1/(a_n+k/...))]

这说明，如果 π 是有理数，那么它的连分数表示形式将会无限继续下去，即存在无限个项。

然而，由于 π 是一个无理数，因此其连分数表示形式是无限的。这与假设相矛盾。

因此，假设不成立，π 是一个无理数。