无人机集群编队飞行方位无源定位数学模型与调整方案

"无人机集群在遂行编队飞行时，为避免外界干扰，应尽可能保持电磁静默，少向外发射电磁波信号。为保持编队队形，拟采用纯方位无源定位的方法调整无人机的位置，即由编队中某几架无人机发射信号、其余无人机被动接收信号，从中提取出方向信息进行定位，来调整无人机的位置。编队中每架无人机均有固定编号，且在编队中与其他无人机的相对位置关系保持不变。接收信号的无人机所接收到的方向信息约定为：该无人机与任意两架发射信号无人机连线之间的夹角（如图 1 所示）。例如：编号为 FY01、FY02 及 FY03 的无人机发射信号，编号为FY04 的无人机接收到的方向信息是 𝛼1，𝛼2 和 𝛼3。\n图 1 无人机接收到的方向信息示意图\n请建立数学模型，解决以下问题：\n问题 1 编队由 10 架无人机组成，形成圆形编队，其中 9 架无人机（编号 FY01~FY09）均\n匀分布在某一圆周上，另 1 架无人机（编号 FY00）位于圆心（见图 2）。无人机基于自身感知\n的高度信息，均保持在同一个高度上飞行。\n图 2 圆形无人机编队示意图\n(1) 位于圆心的无人机（FY00）和编队中另 2 架无人机发射信号，其余位置略有偏差的无\n人机被动接收信号。当发射信号的无人机位置无偏差且编号已知时，建立被动接收信号无人机\n的定位模型。\n(2) 某位置略有偏差的无人机接收到编号为 FY00 和 FY01 的无人机发射的信号，另接收到\n编队中若干编号未知的无人机发射的信号。若发射信号的无人机位置无偏差，除 FY00 和 FY01\n外，还需要几架无人机发射信号，才能实现无人机的有效定位？\n(3) 按编队要求，1 架无人机位于圆心，另 9 架无人机均匀分布在半径为 100 m 的圆周上。\n当初始时刻无人机的位置略有偏差时，请给出合理的无人机位置调整方案，即通过多次调整，\n每次选择编号为 FY00 的无人机和圆周上最多 3 架无人机遂行发射信号，其余无人机根据接收\n到的方向信息，调整到理想位置（每次调整的时间忽略不计），使得 9 架无人机最终均匀分布在\n某个圆周上。利用表 1 给出的数据，仅根据接收到的方向信息来调整无人机的位置，请给出具\n体的调整方案。\n表 1 无人机的初始位置\n无人机编号 极坐标 (m, \n∘\n) 0 (0, 0) 1 (100, 0) 2 (98, 40.10) 3 (112, 80.21) 4 (105, 119.75) 5 (98, 159.86) 6 (112, 199.96) 7 (105, 240.07) 8 (98, 280.17) 9 (112, 320.28)\n问题 2 实际飞行中，无人机集群也可以是其他编队队形，例如锥形编队队形（见图 3，直\n线上相邻两架无人机的间距相等，如 50 m）。仍考虑纯方位无源定位的情形，设计无人机位置\n调整方案。\n进行数学建模内容：问题1：\n(1) 假设无人机FY00的位置为原点O，编号为FY01和FY02的无人机位置分别为点A和点B，两者之间的夹角为θ。则无人机FY04接收到的方向信息为角α1，即角AOB的大小。\n 由三角函数的定义可知，\n tanα1 = |AB| / |OA|\n 由于 |AB| = |AF| - |BF|，其中 |AF| = 100m 为已知值，|BF| = |OA| * tanθ 为待求值，所以\n tanα1 = (|AF| - |BF|) / |OA|\n 化简可得\n |BF| = |AF| - (tanα1 * |OA|) \n\n(2) 假设无人机FY00和FY01的位置分别为点O和点A，接收到编号为FY00和FY01的无人机发射的信号，另外还接收到若干编号未知的无人机发射的信号。要实现无人机的有效定位，需要知道至少还有一架无人机的位置。\n 对于无人机FY00和FY01发射的信号，FY00和FY01之间的夹角为θ。对于接收到的其他无人机发射的信号，设与FY00的夹角为α1，与FY01的夹角为α2。则有以下方程：\n tanα1 = |FA| / |OA|\n tanα2 = |FB| / |OA|\n 其中，|FA| = |OA| * tanθ，|FB| = |OA| * tan(θ + α2 - α1)\n 化简可得\n tanα1 = |FA| / |OA|\n tanα2 = |FA| / |OA| * tan(θ + α2 - α1)\n 由于 |FA| = 100m 和 |OA| = 100m 为已知值，θ为已知值，α1和α2为待求值，所以可以解出未知的夹角α1和α2。\n\n问题2：\n对于锥形编队队形，假设无人机FY00的位置为原点O，编号为FY01的无人机位置为点A，假设与无人机FY01相邻的两架无人机位置分别为点B和点C，假设与无人机FY01相邻的两架无人机发射信号，其余无人机被动接收信号。要调整无人机的位置，需要知道至少还有两架无人机的位置。\n对于无人机FY01发射的信号，FY01和与之相邻的无人机之间的夹角为θ。对于接收到的其他无人机发射的信号，设与FY01相邻的无人机的夹角为α1和α2。则有以下方程：\ntanα1 = |AB| / |OA|\ntanα2 = |AC| / |OA|\n其中，|AB| = |OA| * tanθ，|AC| = |OA| * tan(θ + α2 - α1)\n由于 |AB| = |AC| = 50m 为已知值，|OA| = 100m 为已知值，θ为已知值，α1和α2为待求值，所以可以解出未知的夹角α1和α2。\n