k+1阶对称张量SVD分解后得到的k阶张量对称性证明

"要证明向量v张量化后得到的k阶张量是对称的，可以通过数学归纳法进行证明。\n\n首先，考虑k=1的情况，即v是一个n阶向量。根据SVD分解可得到X=uv^T，其中u和v分别是n阶和n^1=n阶的向量。考虑X的转置X^T=(uv^T)^T=vu^T，可以发现X^T与X相等，即X是对称的。因此，结论对k=1成立。\n\n假设结论对k=m成立，即向量v张量化后得到的m阶张量是对称的。现在考虑k=m+1的情况，即v是一个n^m阶向量。根据SVD分解可得到X=uv^T，其中u是n阶向量，v是n^m阶向量。我们将v张量化后得到的m+1阶张量记为M'。\n\n根据归纳假设，我们知道v张量化后得到的m阶张量M'是对称的。我们需要证明M'沿着mode-(m+1)展开后得到的矩阵N也是对称的。\n\n首先，我们可以将M'沿着mode-(m+1)展开后得到的矩阵记为N。根据展开的定义，N的大小为n^m * n。我们需要证明N是对称的。\n\n考虑N的转置N^T，根据展开的定义可知N^T的大小为n * n^m。根据矩阵乘法的性质，我们知道M'的转置(M')^T沿着mode-1展开后得到的矩阵是N^T。\n\n根据归纳假设，M'是对称的，即(M')^T=M'。因此，N^T=M'，即N和N^T相等，即N是对称的。\n\n综上所述，根据数学归纳法，对任意的k阶对称张量M，其沿着mode-1展开后得到的矩阵X进行SVD分解后，X等于向量u和v的外积，其中向量v张量化后得到的k阶张量是对称的。\n"