证明矩阵列向量线性相关与矩阵秩为 1 的等价性

"证明矩阵列向量线性相关与矩阵秩为 1 的等价性" \ "要证明这个结论，我们可以分两步进行：\第一步：证明$\bigdakuohao{\mathcal{X} \in \SC | \rkcp{\mathcal{X}} = 1} \subseteq \bigdakuohao{\mathcal{X} \in \SC | \rk{X_{(i)}} = 1}$\假设$\mathcal{X} \in \SC$且$\rkcp{\mathcal{X}} = 1$。由于$\rkcp{\mathcal{X}} = 1$，说明$\mathcal{X}$的所有列向量都是线性相关的。设$\mathcal{X}$的列向量为$X_1, X_2, \ldots, X_m$，其中$X_i$是$\mathcal{X}$的第$i$列。由于$X_1, X_2, \ldots, X_m$线性相关，存在不全为零的系数$c_1, c_2, \ldots, c_m$，使得$c_1X_1 + c_2X_2 + \ldots + c_mX_m = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{0}$是全零向量。\我们可以将上面的等式写成矩阵形式：$\mathcal{X}C = \mathbf{0}$，其中$C = [c_1, c_2, \ldots, c_m]$。由于$C$不全为零，所以$\rk{C} \geq 1$。又因为$\mathcal{X}$的所有列向量都是线性相关的，所以$\rk{\mathcal{X}} = \rk{\mathcal{X}C} = \rk{\mathbf{0}} = 0$。这意味着$\mathcal{X}$的所有列向量都是零向量。因此，$\rk{X_{(i)}} = 1$，即$\mathcal{X} \in \bigdakuohao{\mathcal{X} \in \SC | \rk{X_{(i)}} = 1}$。\第二步：证明$\bigdakuohao{\mathcal{X} \in \SC | \rk{X_{(i)}} = 1} \subseteq \bigdakuohao{\mathcal{X} \in \SC | \rkcp{\mathcal{X}} = 1}$\假设$\mathcal{X} \in \SC$且$\rk{X_{(i)}} = 1$。由于$\rk{X_{(i)}} = 1$，说明$X_{(i)}$的所有列向量都是线性相关的。设$X_{(i)}$的列向量为$X_1, X_2, \ldots, X_m$，其中$X_j$是$X_{(i)}$的第$j$列。由于$X_1, X_2, \ldots, X_m$线性相关，存在不全为零的系数$c_1, c_2, \ldots, c_m$，使得$c_1X_1 + c_2X_2 + \ldots + c_mX_m = \mathbf{0}$，其中$\mathbf{0}$是全零向量。\我们可以将上面的等式写成矩阵形式：$X_{(i)}C = \mathbf{0}$，其中$C = [c_1, c_2, \ldots, c_m]$。由于$C$不全为零，所以$\rk{C} \geq 1$。又因为$X_{(i)}$的所有列向量都是线性相关的，所以$\rk{X_{(i)}} = \rk{X_{(i)}C} = \rk{\mathbf{0}} = 0$。这意味着$X_{(i)}$的所有列向量都是零向量。因此，$\rkcp{\mathcal{X}} = 1$，即$\mathcal{X} \in \bigdakuohao{\mathcal{X} \in \SC | \rkcp{\mathcal{X}} = 1}$。\综上所述，我们证明了$\bigdakuohao{\mathcal{X} \in \SC | \rkcp{\mathcal{X}} = 1} = \bigdakuohao{\mathcal{X} \in \SC | \rk{X_{(i)}} = 1}$。"