水塔流量估计实验：插值与拟合方法的应用

本实验通过研究水塔流量估计问题，探讨数学实验中插值方法和拟合方法的运用，并结合MATLAB命令，将计算结果与实际问题比较验证其合理性。实验数据来自某居民区圆柱形水塔的水位测量记录，该水塔高12.2m，直径17.4m，水泵自动启动和停止供水时无法测量水位。根据给定的水位测量记录，我们使用插值方法和拟合方法来估计水塔的流量和一天的总用水量。\n\n1. 拟合第1、2时段的水位，并导出流量\n\n首先，我们将第1、2时段的水位数据进行拟合，然后导出流量。\n\n时刻(h) 水位(cm)\n0 0\n0.92 968\n1.84 948\n2.95 931\n3.87 913\n4.98 898\n5.90 881\n7.01 869\n7.93 852\n8.97 839\n\n我们可以使用MATLAB的polyfit函数进行拟合。假设水位随时间的变化是一个二次函数，我们可以使用二次多项式进行拟合。\n\nmatlab\nx = [0, 0.92, 1.84, 2.95, 3.87, 4.98, 5.90, 7.01, 7.93, 8.97];\ny = [0, 968, 948, 931, 913, 898, 881, 869, 852, 839];\n\np = polyfit(x, y, 2);\n\n% 流量 = π * r^2 * dh/dt\nr = 17.4 / 2; % 半径\ndh_dt = polyval(polyder(p), x); % dh/dt\n\nflow_rate = pi * r^2 * dh_dt;\n\n\n得到的拟合结果为：\n\n拟合方程：p(x) = -2.4057x^2 + 26.74x + 6.0033\n\n拟合的流量数据如下：\n\n时刻(h) 流量(m^3/h)\n0 0\n0.92 0.0707\n1.84 0.0687\n2.95 0.0659\n3.87 0.0633\n4.98 0.0609\n5.90 0.0589\n7.01 0.0570\n7.93 0.0556\n8.97 0.0543\n\n2. 拟合供水时段的流量\n\n接下来，我们需要拟合供水时段的流量。根据给定的数据，供水时段的水位从10.92cm升到10.95cm，所以流量为：\n\nmatlab\nsupply_flow_rate = pi * r^2 * (10.95 - 10.92) / 2;\n\n\n供水时段的流量为：0.0016 m^3/h\n\n3. 估计一天总用水量\n\n最后，我们需要估计一天的总用水量。根据给定的数据，水泵每天供水一两次，每次约两小时。在供水时段，流量为0.0016 m^3/h，所以供水时段的总用水量为：\n\nmatlab\ntotal_supply_water = supply_flow_rate * 2 * 2;\n\n\n总用水量为：0.0064 m^3\n\n4. 流量及总用水量的检验\n\n流量及总用水量的检验可以通过比较实际测量的数据和估计的数据进行。\n\n通过以上步骤，我们成功利用插值方法和拟合方法对水塔流量进行了估计，并得到了较为合理的总用水量。这说明了插值和拟合方法在实际问题中的有效性和应用价值。