FFT快速傅里叶变换原理详解 - 高效计算离散傅里叶变换

FFT（快速傅里叶变换）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。DFT是一种将时域信号转换为频域信号的方法，它将信号分解为一系列正弦和余弦函数的和。\n\nFFT的实现原理可以概括为以下几个步骤：\n\n1. 将输入信号分为偶数和奇数序列：将输入信号分为偶数索引和奇数索引的两个子序列。\n\n2. 对两个子序列进行递归FFT：对两个子序列分别进行FFT，得到它们的频域表示。\n\n3. 合并频域表示：将两个子序列的频域表示合并为整个序列的频域表示。对于序列中的每个元素k，计算其频域表示中的k项值。\n\n4. 重复以上步骤：重复以上步骤，直到得到最终的频域表示。\n\nFFT的关键在于分治思想和旋转因子的运用。通过将序列分解为较小的子序列，并利用旋转因子将子序列的计算结果合并，可以大大减少计算量。\n\nFFT的时间复杂度为O(nlogn)，其中n是输入序列的长度。相比于直接计算DFT的时间复杂度O(n^2)，FFT具有更高的计算效率，特别适用于处理大规模的信号和图像数据。