证明群G的子群N是正规子群等价于：对于所有a∈G和n∈N，有ana⁻¹∈N

证明群G的子群N是正规子群，等价于对于任意的a∈G和n∈N，有ana⁻¹∈N。

证明：

正规子群的定义： 群G的子群N是正规子群，当且仅当对于任意a∈G，有aN=Na。
证明aN=Na等价于ana⁻¹∈N：
- 首先，假设对于所有a∈G和n∈N，有ana⁻¹∈N。
- 为了证明aN=Na，我们需要证明aN包含在Na中，并且Na包含在aN中。
  - aN包含在Na中： 对于任何x∈aN，存在n∈N，使得x=an。那么，x=an=a(na⁻¹)a=n'a，其中n'=na⁻¹∈N。所以，x∈Na，即aN包含在Na中。
  - Na包含在aN中： 对于任何y∈Na，存在m∈N，使得y=ma。那么，y=ma=(a⁻¹m⁻¹a)a=m'a，其中m'=a⁻¹m⁻¹a∈N（因为ana⁻¹∈N）。所以，y∈aN，即Na包含在aN中。
- 由此，我们证明了aN=Na，即N是正规子群。
反之，假设N是正规子群：
- 由于N是正规子群，对于任何a∈G，有aN=Na。
- 对于任何n∈N，an∈aN，因此an也必须在Na中。这意味着存在m∈N，使得an=ma。
- 两边同时乘以a⁻¹，得到ana⁻¹=m∈N。

综上所述，群G的子群N是正规子群，等价于对于任意的a∈G和n∈N，有ana⁻¹∈N。