证明群G的子群N是正规子群的等价条件: ana^{-1}∈N

要证明群G的子群N是正规子群，等价于对于任意的a∈G和n∈N，有ana^{-1}∈N。\n\n证明如下：\n\n首先，假设群G的子群N是正规子群。根据正规子群的定义，对于任意的a∈G和n∈N，有aN=Na。\n对于任意的n∈N，我们有an=a(nn^{-1})=(an)n^{-1}∈aN。\n同时，对于任意的n∈N，我们有na=(n^{-1}n)a=n^{-1}(na)∈Na。\n因此，aN⊆Na且Na⊆aN，所以aN=Na。\n\n接下来，假设对于任意的a∈G和n∈N，有ana^{-1}∈N。我们需要证明子群N是正规子群。\n\n对于任意的a∈G和n∈N，我们有ana^{-1}∈N。\n所以，an=a(na^{-1})a∈aN。\n同时，na=(ana^{-1})a∈Na。\n因此，aN⊆Na且Na⊆aN，所以aN=Na。\n\n综上所述，群G的子群N是正规子群，等价于对于任意的a∈G和n∈N，有ana^{-1}∈N。