证明群G的子群N是正规子群的等价条件

本文将证明群G的子群N是正规子群的等价条件是：对于任意的a∈G和n∈N，都有ana⁻¹∈N。

证明:

必要性: 假设群G的子群N是正规子群，即对于任意的a∈G和n∈N，有an=na。我们需要证明ana⁻¹∈N。

由于N是G的子群，那么N是封闭的，即对于任意的n∈N，有n⁻¹∈N。

考虑元素ana⁻¹，其中a∈G，n∈N。由于N是封闭的，我们知道ana⁻¹∈N或者ana⁻¹∉N。

如果ana⁻¹∈N，那么结论成立。

如果ana⁻¹∉N，那么我们可以考虑元素ana⁻¹n⁻¹。由于N是封闭的，我们有ana⁻¹n⁻¹∈N。

由于N是正规子群，对于任意的n∈N，有n⁻¹∈N。因此，我们可以得到ana⁻¹n⁻¹=(an)(a⁻¹n⁻¹)∈N。

根据N的封闭性，我们知道ana⁻¹n⁻¹n=ana⁻¹∈N。

综上所述，对于任意的a∈G和n∈N，都有ana⁻¹∈N。

充分性: 假设对于任意的a∈G和n∈N，都有ana⁻¹∈N。我们需要证明群G的子群N是正规子群，即对任意的a∈G和n∈N，有an=na。

考虑任意的a∈G和n∈N，我们有ana⁻¹∈N。我们可以从右边乘以a⁻¹，得到ana⁻¹a⁻¹=an(a⁻¹a⁻¹)=an。

由于ana⁻¹∈N，根据N的封闭性，我们知道an=ana⁻¹a⁻¹∈N。

因此，群G的子群N是正规子群，等价于对于任意的a∈G和n∈N，都有ana⁻¹∈N。

结论: 群G的子群N是正规子群的等价条件是：对于任意的a∈G和n∈N，都有ana⁻¹∈N。