证明：群G的子群N是正规子群等价于ana^{-1}∈N

///'证明：///'//n///'假设N是群G的子群。///'//n///'1. 证明如果ana^{-1}∈N对于任意的a∈G和n∈N，那么N是G的正规子群：///'//n///'假设ana^{-1}∈N对于任意的a∈G和n∈N，我们需要证明aN=Na对于任意的a∈G和n∈N。///'//n///'对于任意的a∈G，我们可以将n写成n=eG·n，其中eG是G的单位元素。然后我们有ana^{-1} = (a·eG)·n·(a^{-1}·eG) = a(eG·n·eG^{-1})a^{-1} = a(n')a^{-1}，其中n' = eG·n·eG^{-1}∈N，因为N是G的子群。///'//n///'因此，我们可以得出ana^{-1}∈N对于任意的a∈G和n∈N等价于aN=Na对于任意的a∈G和n∈N，即N是G的正规子群。///'//n///'2. 证明如果N是G的正规子群，那么ana^{-1}∈N对于任意的a∈G和n∈N：///'//n///'假设N是G的正规子群，我们需要证明ana^{-1}∈N对于任意的a∈G和n∈N。///'//n///'由于N是G的子群，我们知道对于任意的a∈G和n∈N，有ana^{-1}∈G。///'//n///'现在我们需要证明ana^{-1}∈N。///'//n///'考虑b=ana^{-1}，其中a∈G，n∈N。///'//n///'我们需要证明b∈N。///'//n///'由于N是G的正规子群，我们知道对于任意的g∈G和h∈N，有ghg^{-1}∈N。///'//n///'将g=a^{-1}，h=ana^{-1}，我们得到a^{-1}ana^{-1}·a = eGe·b = b ∈ N。///'//n///'因此，我们可以得出如果N是G的正规子群，那么ana^{-1}∈N对于任意的a∈G和n∈N。///'//n///'综上所述，群G的子群N是正规子群，等价于对于任意的a∈G和n∈N，有ana^{-1}∈N。///