如何证明：群 G 的子群 N 是正规子群 等价于 ∀a∈G, ∀n∈N, ana⁻¹∈N

要证明群 G 的子群 N 是正规子群，等价于对于任意的 a∈G 和 n∈N，都有 ana⁻¹∈N。\n\n证明：\n\n1. 首先证明如果对于任意的 a∈G 和 n∈N 都有 ana⁻¹∈N，那么 N 是 G 的子群。\n - 封闭性：对于任意的 n_1, n_2∈N，考虑 ana⁻¹b(a⁻¹)⁻¹ = an_1a⁻¹an_2a⁻¹ = ana⁻¹n_1a⁻¹an_2a⁻¹ = ana⁻¹n_1n_2a⁻¹，根据假设 ana⁻¹∈N，n_1n_2∈N，因此 ana⁻¹n_1n_2a⁻¹∈N。这证明了 N 对于群运算是封闭的。\n - 单位元：单位元 e∈N，因为对于任意的 n∈N，ena⁻¹ = na⁻¹ = n，所以单位元 e 也属于 N。\n - 逆元：对于任意的 n∈N，考虑 an⁻¹a⁻¹ = ana⁻¹a⁻¹ = ana⁻¹a⁻¹ = e，所以 n⁻¹=a⁻¹na∈N。这证明了 N 中的每个元素都有逆元。\n 综上所述，如果对于任意的 a∈G 和 n∈N 都有 ana⁻¹∈N，则 N 是 G 的子群。\n\n2. 接下来证明如果 N 是 G 的子群，那么对于任意的 a∈G 和 n∈N 都有 ana⁻¹∈N。\n - 假设 N 是 G 的子群，对于任意的 a∈G 和 n∈N，考虑 ana⁻¹，因为 N 是 G 的子群，所以 n 和 a⁻¹ 都属于 N，而根据子群的封闭性，ana⁻¹ 也属于 N。因此，对于任意的 a∈G 和 n∈N，都有 ana⁻¹∈N。\n\n综上所述，群 G 的子群 N 是正规子群，等价于对于任意的 a∈G 和 n∈N，都有 ana⁻¹∈N。