证明群G的子群H是正规子群的等价条件

要证明群G的子群H是正规子群，等价于对于任意的a∈G和h∈H，都有aha^-1∈H。\n\n证明：\n1. 首先假设H是G的一个正规子群，即对于任意的a∈G和h∈H，都有aha^-1∈H。我们需要证明H是G的子群。\n\n(1) 封闭性：对于任意的h1, h2∈H，由于H是G的子群，所以h1h2的逆元h2^-1h1^-1也在H中。而根据正规子群的定义，对于任意的a∈G，都有aha^-1∈H。因此，我们有ah1h2a^-1=(aha^-1)(aha^-1)...(aha^-1)∈H。由此可见，H对于G的乘法运算是封闭的。\n\n(2) 单位元：由于H是G的子群，所以H中存在一个单位元e。对于任意的a∈G，我们有aea^-1=aa^-1=a∈H。因此，H中存在单位元。\n\n(3) 逆元：对于任意的h∈H，由于H是G的子群，所以h的逆元h^-1也在H中。而根据正规子群的定义，对于任意的a∈G，都有aha^-1∈H。因此，我们有(aha^-1)^-1=a(h^-1)a^-1∈H。由此可见，H中的每个元素都有逆元。\n\n综上所述，H是G的一个子群。\n\n2. 接下来假设H是G的一个子群，即H对于G的乘法运算是封闭的，并且包含单位元和每个元素的逆元。我们需要证明对于任意的a∈G和h∈H，都有aha^-1∈H。\n\n根据正规子群的定义，我们需要证明对于任意的a∈G和h∈H，都有aha^-1∈H，即证明ah∈Ha。\n\n由于H是G的一个子群，对于任意的h∈H，我们有ah∈G。由于G是一个群，所以ah在G中有逆元(ah)^-1=a^-1h^-1。\n\n由于H是G的一个子群，所以a^-1h^-1∈H。再由于H对于G的乘法运算是封闭的，我们有ah=(a^-1h^-1)^-1∈H。\n\n综上所述，对于任意的a∈G和h∈H，都有aha^-1∈H。\n\n因此，群G的子群H是正规子群，等价于对于任意的a∈G和h∈H，都有aha^-1∈H。