证明群G的正规子群：子集H满足ghg^-1∈H条件

"如何证明: 群G的一个子集H, 若满足G上任意元素g核H上任意元素h, 且ghg^{-1}\in H, 就有H为G的正规子群\n或者说这个命题是否正确? 是否要求H为G的子群, 而不仅是子集"\n内容：这个命题是正确的，但H需要是G的子群，而不仅仅是子集。\n\n要证明这个命题，需要证明H是G的子群，且对于任意的g\in G和h\in H，有ghg^(-1)\in H。\n\n首先证明H是G的子群：\n1. H非空：因为H是G的子集，而G是群，所以G中的单位元素e必定属于H，即H非空。\n2. 闭合性：对于任意的h1, h2\in H，由于H是G的子集，所以h1和h2也属于G。由于G是群，所以h1h2的逆元素(h1h2)^(-1)也属于G。根据题设条件，有gh1g^(-1)和gh2g^(-1)属于H，因此(gh1g^(-1))(gh2g^(-1))属于H。根据群的乘法结合律和逆元素的性质，可以得到(gh1g^(-1))(gh2g^(-1))=gh1h2g^(-1)，所以gh1h2g^(-1)属于H。因此，H对于群的乘法是闭合的。\n3. 逆元素：对于任意的h\in H，由于H是G的子集，所以h属于G。根据题设条件，有ghg^(-1)属于H，因此(ghg^(-1))^(-1)也属于H。根据逆元素的性质，可以得到(ghg^(-1))^(-1)=gh^(-1)g^(-1)，所以gh^(-1)g^(-1)属于H。因此，H对于逆元素是封闭的。\n由于H满足非空性、闭合性和逆元素的封闭性，所以H是G的子群。\n\n然后证明对于任意的g\in G和h\in H，有ghg^(-1)属于H：\n由于h属于H，所以ghg^(-1)属于G。根据题设条件，ghg^(-1)也属于H。\n\n因此，根据上述证明，若群G的一个子集H满足对于任意的g\in G和h\in H有ghg^(-1)属于H，则H是G的正规子群。