证明 dy/dx = 1/2tan2t 当 x = sin2t, y = sin^2t

首先，根据已知条件，我们可以得到 y=sin^2 t= (sin t)^2. 接下来，我们需要将 y 表示为 x 的函数。\n\n由 x=sin2t 可得：2t=arcsin(x)，即 t=arcsin(x)/2。\n\n将 t=arcsin(x)/2 代入 y=(sin t)^2 中，可以得到：\ny=(sin(arcsin(x)/2))^2 = (x/2)^2 = x^2/4.\n\n现在我们需要计算 dy/dx。\n\ndy/dx = d(x^2/4)/dx = (1/4) * d(x^2)/dx.\n\n根据链式法则，d(x^2)/dx = d(x^2)/d(2t) * d(2t)/dt = 2x * d(2t)/dt.\n\n因为 t=arcsin(x)/2，所以 d(2t)/dt = d(arcsin(x))/dt = 1/sqrt(1-x^2/4) * d(x)/dt.\n\n又因为 x=sin2t，所以 d(x)/dt = d(sin2t)/dt = 2cos2t.\n\n将上述结果代入 dy/dx 的计算过程中，可以得到：\ndy/dx = (1/4) * 2x * 1/sqrt(1-x^2/4) * 2cos2t.\n\n我们知道 cos2t = cos(arcsin(x)) = sqrt(1-x^2)，将其代入上述公式中，可以得到：\ndy/dx = (1/4) * 2x * 1/sqrt(1-x^2/4) * 2sqrt(1-x^2) = x/sqrt(1-x^2/4).\n\n我们还需要将 dy/dx 表示为 tan2t 的函数。\n\n由 x=sin2t 可得：sin2t=x，即 sin^2t = x^2/4.\n\n因此，我们可以得到 sin^2t = (x^2/4) * 1/(1-x^2/4) = x^2/(4-x^2). \n\n将其代入 dy/dx 的计算过程中，可以得到：\ndy/dx = x/sqrt(1-x^2/4) = x/sqrt(4-x^2). \n\n现在我们需要证明 dy/dx = 1/2tan2t。\n\n我们知道 tan2t = sin2t/cos2t = x/sqrt(1-x^2). \n\n将其代入 dy/dx 的计算结果中，可以得到：\ndy/dx = 1/2tan2t = 1/2 * (x/sqrt(1-x^2)) = x/sqrt(4-x^2). \n\n可以看到，dy/dx 的计算结果与 1/2tan2t 相等，因此已经证明了 dy/dx = 1/2tan2t。