2 的 1/x(x+1) 次方减 1 的导数求解与简化

要求函数$f(x)=2^{\frac{1}{x(x+1)}}-1$的导数。\n\n首先，我们可以对$f(x)$进行简化。由于$2^{\frac{1}{x(x+1)}}$是一个指数函数，我们可以将其写为$e^{\ln(2^{\frac{1}{x(x+1)}})}$。然后，我们可以使用指数函数的性质，即$e^{\ln(a)}=a$，将其简化为$e^{\frac{1}{x(x+1)}\ln(2)}$。因此，我们可以将$f(x)$重写为：\n\n$$f(x)=e^{\frac{1}{x(x+1)}\ln(2)}-1$$\n\n然后，我们可以对$f(x)$求导。使用链式法则，导数的计算如下：\n\n$$f'(x)=\frac{d}{dx}\left(e^{\frac{1}{x(x+1)}\ln(2)}\right)$$\n\n根据链式法则，我们需要计算外函数和内函数的导数。外函数是指数函数$e^x$，内函数是$\frac{1}{x(x+1)}\ln(2)$。\n\n首先，计算外函数的导数，即$e^x$的导数，结果为$e^x$。\n\n然后，计算内函数的导数，即$\frac{1}{x(x+1)}\ln(2)$的导数。使用乘法法则和链式法则，我们可以得到：\n\n$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x(x+1)}\ln(2)\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln(2)}{x(x+1)}\right)$$\n\n$$=\frac{\ln(2)}{(x(x+1))^2}\left(\frac{d}{dx}(x(x+1))\right)$$\n\n$$=\frac{\ln(2)}{(x(x+1))^2}(x+1+x)$$\n\n$$=\frac{2\ln(2)x+2\ln(2)}{(x(x+1))^2}$$\n\n将所有部分组合起来，我们得到：\n\n$$f'(x)=e^{\frac{1}{x(x+1)}\ln(2)}\cdot\frac{2\ln(2)x+2\ln(2)}{(x(x+1))^2}$$\n\n因此，函数$f(x)$的导数为$e^{\frac{1}{x(x+1)}\ln(2)}\cdot\frac{2\ln(2)x+2\ln(2)}{(x(x+1))^2}$。