稻纵卷叶螟幼虫空间分布型分析：泊松分布与负二项分布拟合

假设调查得到的数据如下：/n/n| 幼虫数量 | 频次 | 频率 | 泊松分布概率 | 负二项分布概率 | /n|--------|-----|-----|----------|--------------| /n| 0 | 10 | 0.05 | 0.08 | 0.05 | /n| 1 | 20 | 0.1 | 0.17 | 0.12 | /n| 2 | 50 | 0.25 | 0.26 | 0.28 | /n| 3 | 60 | 0.3 | 0.24 | 0.29 | /n| 4 | 40 | 0.2 | 0.15 | 0.18 | /n| 5 | 20 | 0.1 | 0.07 | 0.09 | /n/n首先计算各幼虫数量的频率（频次/样本量），得到：/n/n| 幼虫数量 | 频次 | 频率 | /n|--------|-----|-----| /n| 0 | 10 | 0.05 | /n| 1 | 20 | 0.1 | /n| 2 | 50 | 0.25 | /n| 3 | 60 | 0.3 | /n| 4 | 40 | 0.2 | /n| 5 | 20 | 0.1 | /n/n接下来，我们可以用频次分布法来拟合数据的空间分布型。/n/n1. 拟合泊松分布型/n/n泊松分布是一种描述稀有事件发生概率的概率分布，假设在一定时间内，某个事件发生的次数符合泊松分布，那么在同样的时间内，该事件不发生次数的概率为：/n/n$$P(X=0)=e^{-/lambda}$$ /n/n其中，$/lambda$是该时间内该事件发生的平均次数。如果事件发生的次数符合泊松分布，那么对于任意的$k$，事件发生$k$次的概率为：/n/n$$P(X=k)=/frac{/lambda^k}{k!}e^{-/lambda}$$ /n/n我们可以用极大似然估计来估计$/lambda$的值，即假设样本中幼虫数量的分布符合泊松分布，然后求解使得样本的似然函数最大的$/lambda$值。/n/n具体来说，假设样本中幼虫数量为$k_1,k_2,...,k_n$，样本量为$n$，则样本的似然函数为：/n/n$$L(/lambda)=/prod_{i=1}^n /frac{/lambda^{k_i}}{k_i!}e^{-/lambda}=/frac{e^{-n/lambda}/lambda^{/sum_{i=1}^n k_i}}{/prod_{i=1}^n k_i!}$$ /n/n对$/lambda$求导，令导数等于0，可以得到：/n/n$$/hat{/lambda}=/frac{1}{n}/sum_{i=1}^n k_i$$ /n/n即样本中幼虫数量的平均值作为$/lambda$的估计值。将样本的频数和频率与泊松分布进行比较，得到：/n/n| 幼虫数量 | 频次 | 频率 | 泊松分布概率 | /n|--------|-----|-----|----------| /n| 0 | 10 | 0.05 | 0.08 | /n| 1 | 20 | 0.1 | 0.17 | /n| 2 | 50 | 0.25 | 0.26 | /n| 3 | 60 | 0.3 | 0.24 | /n| 4 | 40 | 0.2 | 0.15 | /n| 5 | 20 | 0.1 | 0.07 | /n/n可以看到，泊松分布的概率与样本的频率比较接近，因此可以认为稻纵卷叶螟幼虫的分布符合泊松分布。/n/n2. 拟合负二项分布型/n/n负二项分布是一种描述在进行$n$次独立重复试验中，成功次数为$r$的负二项分布，即在进行$n$次独立重复试验中，成功$r$次时，失败的次数符合二项分布，而成功次数则符合负二项分布。因此，负二项分布的概率质量函数为：/n/n$$P(X=k)={k+r-1/choose k}p^r(1-p)^k$$ /n/n其中，$p$为每次试验中成功的概率，$r$为需要进行$r$次成功的试验。我们可以用最大似然估计来估计$r$和$p$的值。/n/n具体来说，假设样本中幼虫数量为$k_1,k_2,...,k_n$，频率为$f_1,f_2,...,f_n$，则样本的似然函数为：/n/n$$L(r,p)=/prod_{i=1}^n {k_i+r-1/choose k_i}p^r(1-p)^{k_i}$$ /n/n对$r$和$p$分别求导，令导数等于0，可以得到：/n/n$$/hat{r}=/frac{/sum_{i=1}^n k_i}{/frac{1}{n}/sum_{i=1}^n(/frac{k_i}{1-p})}$$ /n/n$$/hat{p}=/frac{/sum_{i=1}^n(k_i-/hat{r})}{/sum_{i=1}^n k_i}$$ /n/n将样本的频数和频率与负二项分布进行比较，得到：/n/n| 幼虫数量 | 频次 | 频率 | 负二项分布概率 | /n|--------|-----|-----|--------------| /n| 0 | 10 | 0.05 | 0.05 | /n| 1 | 20 | 0.1 | 0.12 | /n| 2 | 50 | 0.25 | 0.28 | /n| 3 | 60 | 0.3 | 0.29 | /n| 4 | 40 | 0.2 | 0.18 | /n| 5 | 20 | 0.1 | 0.09 | /n/n可以看到，负二项分布的概率与样本的频率比较接近，但相对于泊松分布，拟合效果略差。因此，稻纵卷叶螟幼虫的分布可以近似看作泊松分布。