稻纵卷叶螟幼虫空间分布型拟合分析：泊松分布与负二项分布比较

假设调查结果如下：

| 幼虫数量 | 频次 | | -------- | ---- | | 0 | 20 | | 1 | 50 | | 2 | 70 | | 3 | 35 | | 4 | 20 | | 5 | 5 |

首先计算幼虫数量的平均值和方差：

$$\bar{X} = \frac{\sum_{i=0}^5 X_i n_i}{\sum_{i=0}^5 n_i} = \frac{1\times50 + 2\times70 + 3\times35 + 4\times20 + 5\times5}{200} \approx 2.05$$

$$S^2 = \frac{\sum_{i=0}^5 (X_i - \bar{X})^2 n_i}{\sum_{i=0}^5 n_i - 1} = \frac{(1-2.05)^2\times50 + (2-2.05)^2\times70 + (3-2.05)^2\times35 + (4-2.05)^2\times20 + (5-2.05)^2\times5}{199} \approx 1.844$$

接下来可以用泊松分布和负二项分布分别拟合数据。

泊松分布的概率质量函数为：

$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

其中 $\lambda$ 是均值和方差，即 $\lambda = \bar{X} = S^2$。根据频次分布表可以计算出各个幼虫数量的频率：

| 幼虫数量 | 频率 | 预期频率（泊松分布） | | -------- | ----- | --------------------- | | 0 | 0.10 | 0.131 | | 1 | 0.25 | 0.267 | | 2 | 0.35 | 0.275 | | 3 | 0.18 | 0.149 | | 4 | 0.10 | 0.077 | | 5 | 0.02 | 0.035 |

可以计算出泊松分布的对数似然：

$$\log L = \sum_{i=0}^5 n_i \log P(X_i=k) = -215.4$$

负二项分布的概率质量函数为：

$$P(X=k) = \binom{k+r-1}{k} p^k (1-p)^r$$

其中 $r$ 是成功次数，$p$ 是成功概率。根据频次分布表可以计算出各个幼虫数量的频率和样本均值、方差：

| 幼虫数量 | 频率 | 样本均值 | 样本方差 | | -------- | ----- | -------- | -------- | | 0 | 0.10 | | | | 1 | 0.25 | 1.00 | 0.67 | | 2 | 0.35 | 2.00 | 0.94 | | 3 | 0.18 | 3.00 | 1.22 | | 4 | 0.10 | 4.00 | 1.60 | | 5 | 0.02 | 5.00 | 2.00 |

可以用样本均值和方差估计 $p$ 和 $r$：

$$p = \frac{S^2}{\bar{X}} = \frac{1.844}{2.05} \approx 0.899$$

$$r = \frac{\bar{X}(1-p)}{p} \approx 1.89$$

可以计算出负二项分布的对数似然：

$$\log L = \sum_{i=0}^5 n_i \log P(X_i=k) = -214.7$$

比较两种分布的对数似然，发现负二项分布略优于泊松分布。因此可以认为稻纵卷叶螟幼虫符合负二项分布。