稻纵卷叶螟幼虫空间分布型拟合分析：泊松分布和负二项分布比较

假设我们调查了225株稻株，统计得到以下数据：

| 幼虫数量 | 出现次数 | |----------|----------| | 0 | 50 | | 1 | 60 | | 2 | 60 | | 3 | 40 | | 4 | 10 | | 5 | 5 |

首先，我们需要计算每个幼虫数量的频率和累计频率：

| 幼虫数量 | 出现次数 | 频率 | 累计频率 | |----------|----------|---------|---------| | 0 | 50 | 0.222 | 0.222 | | 1 | 60 | 0.267 | 0.489 | | 2 | 60 | 0.267 | 0.756 | | 3 | 40 | 0.178 | 0.934 | | 4 | 10 | 0.044 | 0.978 | | 5 | 5 | 0.022 | 1 |

接下来，我们可以用频次分布法来拟合空间分布型。

泊松分布型

泊松分布的概率质量函数为：$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $\lambda$ 是平均发生率，$k$ 是发生次数。

我们可以用最大似然估计来估计 $\lambda$，即令 $\lambda$ 等于观测数据的平均值。在这个例子中，观测数据的平均值为：

$\bar{x} = \frac{1}{225} \sum_{i=1}^{225} x_i = \frac{1}{225} (0 \cdot 50 + 1 \cdot 60 + 2 \cdot 60 + 3 \cdot 40 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 5) \approx 1.38$

因此，我们可以用泊松分布来拟合这个数据，计算每个幼虫数量出现的概率，得到以下频次分布表：

| 幼虫数量 | 出现次数 | 频率 | 累计频率 | 概率 | |----------|----------|---------|---------|---------| | 0 | 50 | 0.222 | 0.222 | 0.252 | | 1 | 60 | 0.267 | 0.489 | 0.347 | | 2 | 60 | 0.267 | 0.756 | 0.239 | | 3 | 40 | 0.178 | 0.934 | 0.131 | | 4 | 10 | 0.044 | 0.978 | 0.029 | | 5 | 5 | 0.022 | 1 | 0.002 |

可以看出，用泊松分布拟合的结果和观测数据比较接近。

负二项分布型

负二项分布的概率质量函数为：$P(X=k) = {{k+r-1} \choose {k}} p^k (1-p)^r$，其中 $r$ 是失败次数，$k$ 是成功次数，$p$ 是单次成功的概率。

我们可以用最大似然估计来估计 $r$ 和 $p$，即分别令 $r$ 和 $p$ 等于观测数据的样本均值和样本方差。在这个例子中，观测数据的样本均值和样本方差分别为：

$\bar{x} = \frac{1}{225} \sum_{i=1}^{225} x_i = \frac{1}{225} (0 \cdot 50 + 1 \cdot 60 + 2 \cdot 60 + 3 \cdot 40 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 5) \approx 1.38$

$s^2 = \frac{1}{225-1} \sum_{i=1}^{225} (x_i-\bar{x})^2 \approx 1.60$

因此，我们可以用负二项分布来拟合这个数据，计算每个幼虫数量出现的概率，得到以下频次分布表：

| 幼虫数量 | 出现次数 | 频率 | 累计频率 | 概率 | |----------|----------|---------|---------|---------| | 0 | 50 | 0.222 | 0.222 | 0.254 | | 1 | 60 | 0.267 | 0.489 | 0.354 | | 2 | 60 | 0.267 | 0.756 | 0.247 | | 3 | 40 | 0.178 | 0.934 | 0.117 | | 4 | 10 | 0.044 | 0.978 | 0.023 | | 5 | 5 | 0.022 | 1 | 0.003 |

可以看出，用负二项分布拟合的结果和观测数据也比较接近。