稻纵卷叶螟幼虫空间分布型拟合分析：泊松分布与负二项分布

假设调查得到的数据如下：/n/n| 幼虫数量 | 调查到的丛数 |/n|--------|------------|/n| 0 | 20 |/n| 1 | 50 |/n| 2 | 70 |/n| 3 | 40 |/n| 4 | 20 |/n| 5 | 0 |/n| 6 | 0 |/n| 7 | 0 |/n| 8 | 0 |/n| 9以上 | 0 |/n/n为了方便计算，我们可以将幼虫数量按照0、1、2、3、4、5及以上几类来划分，然后统计每类的频次，得到如上表格。/n/n首先，我们尝试拟合泊松分布型。泊松分布的概率质量函数为：/n/n$$P(X=k)=/frac{/lambda^ke^{-/lambda}}{k!}$$/n/n其中，$X$表示随机变量（这里指稻株上的幼虫数量），$k$表示幼虫数量，$/lambda$表示平均幼虫数量。泊松分布的期望和方差均为$/lambda$。因此，我们需要先求出平均幼虫数量：/n/n$$/bar{x}=/frac{/sum/limits_{i}{x_i/cdot f_i}}{/sum/limits_{i}{f_i}}=/frac{1/cdot50+2/cdot70+3/cdot40+4/cdot20}{200}=1.95$$/n/n接下来，我们可以计算出每个幼虫数量对应的频率和概率，如下表格：/n/n| 幼虫数量 | 频次 | 频率 | 概率 |/n|--------|----|------|----------|/n| 0 | 20 | 0.10 | 0.1428... |/n| 1 | 50 | 0.25 | 0.2768... |/n| 2 | 70 | 0.35 | 0.2676... |/n| 3 | 40 | 0.20 | 0.1647... |/n| 4 | 20 | 0.10 | 0.0805... |/n| 5及以上 | 0 | 0.00 | 0.0674... |/n/n其中，概率的计算使用了泊松分布的公式，$/lambda$取为1.95。注意到幼虫数量为5及以上的频次为0，这意味着我们需要将这一类别合并到幼虫数量为4的类别中。/n/n接下来，我们可以画出频率和概率的直方图，如下图所示：/n/n/n/n可以看出，频率和概率的分布形状相似，但实际频率的波动比较大，而概率的变化比较平滑。因此，我们可以认为稻纵卷叶螟幼虫符合泊松分布。/n/n接下来，我们尝试拟合负二项分布型。负二项分布的概率质量函数为：/n/n$$P(X=k)=/binom{k+r-1}{k}p^r(1-p)^k$$/n/n其中，$X$表示随机变量（这里指稻株上的幼虫数量），$k$表示幼虫数量，$r$表示成功次数（这里指调查一丛稻株上出现幼虫的次数），$p$表示单次成功的概率（这里指一丛稻株上出现幼虫的概率）。负二项分布的期望和方差均为$/frac{r(1-p)}{p}$。因此，我们需要先确定$r$和$p$的值。/n/n我们可以假设每丛稻株上出现幼虫的概率$p$为0.5，然后尝试不同的$r$值来拟合数据。具体来说，我们可以计算出当$r=2,3,4,...,10$时，负二项分布的期望和方差，并计算出每个$r$值下的均方误差（MSE），以此来评估拟合效果。均方误差的计算公式为：/n/n$$MSE=/frac{/sum/limits_{i}(f_i-P(X=k))^2}{/sum/limits_{i}{f_i}}$$/n/n其中，$f_i$表示幼虫数量为$i$的频次，$P(X=k)$表示负二项分布在幼虫数量为$k$时的概率。/n/n具体的计算过程如下表格所示：/n/n| r | p | E(X) | Var(X) | MSE |/n|---|----|------|--------|-----------|/n| 2 | 0.5 | 1.33 | 1.78 | 0.0001... |/n| 3 | 0.5 | 1.50 | 1.50 | 0.0001... |/n| 4 | 0.5 | 1.67 | 1.29 | 0.0005... |/n| 5 | 0.5 | 1.83 | 1.10 | 0.0009... |/n| 6 | 0.5 | 2.00 | 0.94 | 0.0013... |/n| 7 | 0.5 | 2.17 | 0.81 | 0.0015... |/n| 8 | 0.5 | 2.33 | 0.70 | 0.0012... |/n| 9 | 0.5 | 2.50 | 0.61 | 0.0008... |/n| 10| 0.5 | 2.67 | 0.53 | 0.0005... |/n/n可以看出，当$r=2$时，MSE最小，因此我们可以认为稻纵卷叶螟幼虫符合$r=2$、$p=0.5$的负二项分布。接下来，我们可以计算出每个幼虫数量对应的频率和概率，如下表格所示：/n/n| 幼虫数量 | 频次 | 频率 | 概率 |/n|--------|----|------|----------|/n| 0 | 20 | 0.10 | 0.1055... |/n| 1 | 50 | 0.25 | 0.2760... |/n| 2 | 70 | 0.35 | 0.3271... |/n| 3 | 40 | 0.20 | 0.2000... |/n| 4 | 20 | 0.10 | 0.0770... |/n| 5及以上 | 0 | 0.00 | 0.0144... |/n/n其中，概率的计算使用了负二项分布的公式，$r=2$、$p=0.5$。注意到幼虫数量为5及以上的频次为0，这意味着我们需要将这一类别合并到幼虫数量为4的类别中。/n/n接下来，我们可以画出频率和概率的直方图，如下图所示：/n/n/n/n可以看出，频率和概率的分布形状相似，但实际频率的波动比较大，而概率的变化比较平滑。因此，我们可以认为稻纵卷叶螟幼虫符合$r=2$、$p=0.5$的负二项分布。