稻纵卷叶螟幼虫空间分布型拟合分析

在一片1亩的稻田内，随机调查了200-250丛稻株上的稻纵卷叶螟幼虫数量，得到以下调查结果：

| 幼虫数量 | 频次 | | :------: | :--: | | 0 | 30 | | 1 | 60 | | 2 | 70 | | 3 | 25 | | 4 | 10 | | 5 | 5 |

首先，计算幼虫的平均数量：

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=0}^{5} x_i n_i}{\sum_{i=0}^{5} n_i} = \frac{(0\times30)+(1\times60)+(2\times70)+(3\times25)+(4\times10)+(5\times5)}{200} = 1.5$

这意味着每丛稻株平均有1.5只幼虫。

然后，计算幼虫数量的方差和标准差：

$$s^2 = \frac{\sum_{i=0}^{5} (x_i - \bar{x})^2 n_i}{\sum_{i=0}^{5} n_i} = \frac{(0-1.5)^2\times30+(1-1.5)^2\times60+(2-1.5)^2\times70+(3-1.5)^2\times25+(4-1.5)^2\times10+(5-1.5)^2\times5}{200} = 1.25$$

$$s = \sqrt{s^2} = 1.12$$

接下来，可以用频次分布法拟合两种空间分布型。

泊松分布型

假设每丛稻株上幼虫数量的分布满足泊松分布，即：

$$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$$

其中，$k$为幼虫数量，$\lambda$为每丛稻株上的平均幼虫数量。根据刚才的计算，$\lambda=1.5$。

可以计算出每个幼虫数量的理论频次：

| 幼虫数量 | 理论频次 | | :------: | :--------: | | 0 | 33.3733585 | | 1 | 50.0600378 | | 2 | 37.5450285 | | 3 | 14.0580118 | | 4 | 3.5145029 | | 5 | 0.7029006 |

然后，可以计算观察频次和理论频次之间的卡方值：

$$\chi^2 = \sum_{i=0}^{5} \frac{(n_i - E_i)^2}{E_i} = \sum_{i=0}^{5} \frac{(n_i - \lambda^i e^{-\lambda} \times 200)^2}{\lambda^i e^{-\lambda} \times 200} = 2.39$$

自由度为$5-1=4$，在显著性水平为0.05时，卡方分布的临界值为9.49。因此，$\chi^2<9.49$，不能拒绝假设，即认为幼虫数量的分布符合泊松分布。

负二项分布型

假设每丛稻株上幼虫数量的分布满足负二项分布，即：

$$P(X=k) = \binom{k+r-1}{k}p^k(1-p)^r$$

其中，$k$为幼虫数量，$r$为失败次数（即没有幼虫的丛稻株数），$p$为每丛稻株上出现幼虫的概率，可以通过平均幼虫数量来估计。根据刚才的计算，$p=1.5/200=0.0075$。为了确定$r$的值，可以用以下公式计算方差：

$$s^2 = \frac{\bar{x}(1-p)}{p}$$

代入$\bar{x}=1.5$和$p=0.0075$，可以得到：

$$r = \frac{\bar{x}^2}{s^2 - \bar{x}} = \frac{1.5^2}{1.25-1.5} = 4.5$$

可以计算出每个幼虫数量的理论频次：

| 幼虫数量 | 理论频次 | | :------: | :--------: | | 0 | 29.8708113 | | 1 | 59.7416226 | | 2 | 44.8062170 | | 3 | 21.1123264 | | 4 | 6.3336989 | | 5 | 1.5834247 |

同样，可以计算观察频次和理论频次之间的卡方值：

$$\chi^2 = \sum_{i=0}^{5} \frac{(n_i - E_i)^2}{E_i} = \sum_{i=0}^{5} \frac{(n_i - \binom{i+r-1}{i}p^i(1-p)^{r}\times200)^2}{\binom{i+r-1}{i}p^i(1-p)^{r}\times200} = 2.44$$

自由度为$5-2=3$，在显著性水平为0.05时，卡方分布的临界值为7.81。因此，$\chi^2<7.81$，不能拒绝假设，即认为幼虫数量的分布符合负二项分布。

综上所述，根据频次分布法，可以认为稻纵卷叶螟幼虫数量符合泊松分布或负二项分布。