2x2图像的离散傅里叶变换和离散余弦变换计算详解

首先，计算离散傅里叶变换 (DFT)：/n/n$$F(u,v)=/sum_{x=0}^{1}/sum_{y=0}^{1}f(x,y)e^{-i2/pi(/frac{ux}{2}+/frac{vy}{2})}$$ /n/n代入图像 f(x,y)=[1 2, 2 1] 的数值，得：/n/n$$F(u,v)=/sum_{x=0}^{1}/sum_{y=0}^{1}[1 2;2 1]e^{-i2/pi(/frac{ux}{2}+/frac{vy}{2})}$$ /n/n$$F(u,v)=1e^{-i/pi u}-2e^{-i/pi v}+2e^{-i/pi(u+v)}-2e^{-i/pi u}+1e^{-i/pi v}-2e^{-i/pi(u+v)}$$ /n/n$$F(u,v)=(-3+2cos(/pi u)+2cos(/pi v)+2cos(/pi u)cos(/pi v))$$ /n/n所以离散傅里叶变换的结果为：/n/n$$F(u,v)=/begin{bmatrix} -1 & 2 // 2 & -1 /end{bmatrix}$$ /n/n接下来，计算离散余弦变换 (DCT)：/n/n$$F(u,v)=/frac{2}{2}/sum_{x=0}^{1}/sum_{y=0}^{1}f(x,y)cos(/frac{(2x+1)u/pi}{2})cos(/frac{(2y+1)v/pi}{2})$$ /n/n代入图像 f(x,y)=[1 2, 2 1] 的数值，得：/n/n$$F(u,v)=/frac{1}{2}(1cos(/frac{u/pi}{2})cos(/frac{v/pi}{2})+2cos(/frac{u/pi}{2})cos(/frac{(2v+1)/pi}{4})+2cos(/frac{(2u+1)/pi}{4})cos(/frac{v/pi}{2})+1cos(/frac{(2u+1)/pi}{4})cos(/frac{(2v+1)/pi}{4}))$$ /n/n化简得：/n/n$$F(u,v)=/begin{bmatrix} 2.5 & -0.5 // -0.5 & 1.5 /end{bmatrix}$$ /n/n所以离散余弦变换的结果为：/n/n$$F(u,v)=/begin{bmatrix} 2.5 & -0.5 // -0.5 & 1.5 /end{bmatrix}$$